题目 01
若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+1,1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a,-2,2-a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a-1,-3,4-a)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关, 则 $a=?$
难度评级：
解析 01
$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a+1 & a & a-1 \\ 1 & -2 & -3 \\ a & 2-a & 4-a\end{array}\right|=
$$
进行初等行列变换和初等列变换：
$$
\left|\begin{array}{ccc}a+1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & -a & 1\end{array}\right|=(a+1)\left|\begin{array}{cc}-2 & -1 \\ -a & 1\end{array}\right| \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ a=-2\end{array}\right.
$$