判断函数是否可积的若干特例/反例

一、题目

下列命题中，正确的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积, $f(x)⩾0,\not\equiv 0$, 则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x>0$.

(B) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 不可积,则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a,b]$ 不可积.

(C) 设 $f^2(x)$ 在 $[a,b]$ 可积,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积.

(D) 设 $x_0\in (a,b),f(x)$ 在 $[a,b]/\{x_0\}$ 连续且有界, $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的间断点, 则 $F(x)=$ ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 在 $x=x_0$ 不可导.

难度评级：

二、解析

1. 为简洁起见，以下说法默认都是在题目对应选项给出的闭区间上进行的讨论；
2. 题干中的 “$[a,b]/\{x_0\}$” 表示在 $[a,b]$ 区间上，但不包含 $x_0$ 这个点。

解法一：矛盾法

若 $f(x)$ 可积，且 $f(x)+g(x)$ 可积，则必有 $[f(x)+g(x)]–f(x)$ 可积，但这与 $g(x)$ 不可积矛盾，因此，必然有 $f(x)+g(x)$ 不可积。于是可知，B 选项正确。

解法二：反例法

A 选项：

若：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [a,x_0)\cup (x_0,b]\\ 1,& x=x_0\end{array}$$

于是可知，此时 $f(x)$ 大于等于零且不恒等于零，但由于只有一个点不等于零，因此积分仍然等于零：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$$

C 选项：

若：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}\\ 1,& x\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}\end{array}$$

于是可知，$f^2(x)=1$ 是可积的，但是，$f(x)$ 本身不可积。

D 选项：

一点处的导数不存在表示在该点处不能找到一条切线。根据几何意义，如果这个点是跳跃间断点、震荡间断点或者无穷间断点，则切实无法在该点处找到一条切线。
但是，如果这个间断点是可去间断点，由于该点左右两侧的极限是相等的，因此，也可视作是“光滑”的，因此，在可去间断点处其实是可以确定一条切线的，也就是可导。

综上，只有 B 选项正确。

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