有垂直渐近线的一侧可能还有水平或者倾斜渐近线

一、题目

曲线 $y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ 有几种渐近线？

难度评级：

二、解析

有垂直渐近线的一侧可能还有水平或者倾斜渐近线，但是有水平渐近线的一侧不能由倾斜渐近线，有倾斜渐近线的一侧不能有水平渐近线。

由题可知，$y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ 的间断点为：

$$
x = 1, \ x = -1
$$

且：

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2}{0^{+}} = + \infty
$$

$$
\lim_{x \rightarrow -1^{-}} \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2}{0^{+}} = + \infty
$$

因此，$y$ 有两个垂直渐近线 $x = 1$ 和 $x = -1$

又：

$$
k = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}+1}{\textcolor{orangered}{x} \sqrt{x^{2}-1}} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 1
$$

$$
k = \lim_{x \rightarrow – \infty} \frac{x^{2}+1}{\textcolor{orangered}{x} \sqrt{x^{2}-1}} = \lim_{x \rightarrow – \infty} \frac{x^{2} + 1}{x \cdot (-x)} = -1
$$

注意：这里不要求我们求解出具体的渐近线，因此，在倾斜渐近线中，没必要求解 $b = \lim_{x \rightarrow \infty} (y – k x)$ 的值。

于是可知，$y$ 还有两个倾斜渐近线。

综上，$y$ 有垂直渐近线和倾斜渐近线，没有水平渐近线。

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