有垂直渐近线的一侧可能还有水平或者倾斜渐近线

一、题目

曲线 $y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 有几种渐近线？

难度评级：

二、解析

有垂直渐近线的一侧可能还有水平或者倾斜渐近线，但是有水平渐近线的一侧不能由倾斜渐近线，有倾斜渐近线的一侧不能有水平渐近线。

由题可知，$y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 的间断点为：

$$x=1,x=-1$$

且：

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$$

因此，$y$ 有两个垂直渐近线 $x=1$ 和 $x=-1$

又：

$$k=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x\sqrt{x^2-1}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x^2}=1$$

$$k=\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x\sqrt{x^2-1}}=\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x\cdot (-x)}=-1$$

注意：这里不要求我们求解出具体的渐近线，因此，在倾斜渐近线中，没必要求解 $b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(y–kx)$ 的值。

于是可知，$y$ 还有两个倾斜渐近线。

综上，$y$ 有垂直渐近线和倾斜渐近线，没有水平渐近线。

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