间断点只是一点处的情况，并不能决定一个函数是否是偶函数

一、前言

在本文中，我们将通过研究如下函数，来说明“间断点并不能决定一个函数是否是偶函数”这一结论。

$$f(x)=e^{\frac{1}{x^2–1}}$$

难度评级：

二、正文

显然，函数 $f(x)=e^{\frac{1}{x^2–1}}$ 存在 $x=1$ 和 $x=1$ 这两个关于原点对称分布的间断点。

其中，当 $x$ 趋于 $1^{-}$ 或者 $-1^{+}$ 的时候，$x^2–1\to 0^{-}$, 因此 $\frac{1}{x^2–1}\to –\mathrm{\infty }$, 因此 $f(x)=e^{-\mathrm{\infty }}=0$.

而当 $x$ 趋于 $1^{+}$ 或者 $-1^{-}$ 的时候，$x^2–1\to 0^{+}$, 因此 $\frac{1}{x^2–1}\to +\mathrm{\infty }$, 因此 $f(x)=e^{-\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$.

综上，我们可以绘制出如下函数图像（可以看出 $f(x)$ 是一个偶函数）：