都连续的函数复合出的函数一定连续

一、题目

以下函数 $f[g(x)]$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是哪个？

(A) $f(u)=\ln (1+u^2),g(x)=\{\begin{array}{ll}{\sin }^{2}x+(x+1{)}^2,& x⩽0,\\ x^2+1,& x>0.\end{array}$

(B) $f(u)=\{\begin{array}{ll}1-u,& u⩽0,\\ u^2+1,& u>0,\end{array},g(x)=2\cos x-1$.

(C) $f(u)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1-u^2)}{u}\sin \frac{1}{u},& u<0,\\ 1-\cos \sqrt{u},& u⩾0,\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x<0,\\ x+\frac{{\pi }^2}{4},& x⩾0.\end{array}$.

(D) $f(u)={\mathrm{e}}^{u^2}+1,g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x<0,\\ 0,& x=0,\\ \sin \frac{1}{x},& x>0.\end{array}$

难度评级：

二、解析

A 选项：

显然，$f(u)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 区间上连续。

又：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}[{\sin }^{2}x+(x+1{)}^2]=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x^2+1)=1$$

因此，$g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上也连续。

于是可知，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上一定连续。

B 选项：

由于：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}(1-u)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(u^2+1)=1$$

因此，$f(u)$ 和 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上都连续。

于是可知，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上一定连续。

C 选项：

由于：

$$x<0\Rightarrow g(x)<0\Rightarrow f[g(x)]=f(x)$$

$$x⩾0\Rightarrow g(x)⩾0\Rightarrow f[g(x)]=1-\cos \sqrt{x+\frac{{\pi }^2}{4}}$$

又：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\ln (1-x^2)}{x}\sin \frac{1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x^2}{x}\sin \frac{1}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}-x\sin \frac{1}{x}=0$$

且：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}(1-\cos \sqrt{x+\frac{{\pi }^2}{4}})=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}（1-\cos \frac{\pi }{2}）=1-0=1$$

因此，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $x=0$ 处存在第一类跳跃间断点，没有第二类无穷间断点。

D 选项：

由于：

$$x<0\Rightarrow f[g(x)]=e^{\frac{1}{x^2}}+1$$

$$x>0\Rightarrow f[g(x)]=e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}+1$$

又：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}(e^{\frac{1}{x^2}}+1)=+\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}(e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}+1)\Rightarrow \text{ 有界振荡 }$$

因此，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $x=0$ 处存在第二类无穷间断点。

综上，本题正确选项为：D

---