1992数二真题解析：去根号要考虑正负，e 的零次幂也要考虑正负- 荒原之梦

前言

在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二【1992】年的真题。

注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干；
3. 典型题目用红色标注。

(1) 设 ${\begin{cases} x = f (t) - π, \\ y = f (e^{3 t} - 1), \end{cases}$ , 其中 $f$ 可导, 且 $f^{'} (0) \neq 0$ , 则 ${\frac{d y}{d x} |}_{t = 0} =$

$\frac{d y}{d t} = f^{'} (e^{3 t} - 1) \cdot 3 e^{3 t}$

$\frac{d x}{d t} = f^{'} (t)$

于是：

$\frac{d y}{d x} = \frac{f^{'} (e^{3 t} - 1) \cdot 3 e^{3 t}}{f^{'} (t)} \Rightarrow$

$t = 0 \Rightarrow \frac{f^{'} (0) \cdot 3}{f^{'} (0)} = 3$

(2) 函数 $y = x + 2 \cos x$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为

$y^{'} = 1 - 2 \sin x \Rightarrow y^{'} = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{6}$

$y^{''} = - 2 \cos x \Rightarrow x = \frac{π}{6} \Rightarrow y^{''} (\frac{π}{6}) < 0$

所以，最大值为：

$y (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

(3) $lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}{e^{x} - \cos x} =$

由于：

$(1 + x)^{b} - 1 \sim b x$

于是：

$1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = - [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1] \sim \frac{1}{2} x^{2}$

因此：

$\frac{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}{e^{x} - \cos x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x} - \cos x} \Rightarrow$

洛必达运算：

$\frac{x}{e^{x} + \sin x} = \frac{0}{1} = 0$

(4) $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x (x^{2} + 1)} =$

先配方：

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B x}{x^{2} + 1} = \frac{A (x^{2} + 1) + B x^{2}}{x (x^{2} + 1)} \Rightarrow$

$A = 1, B = - 1 \Rightarrow$

于是：

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x (x^{2} + 1)} d x = \int_{1}^{+ \infty} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 1}) d x \Rightarrow$

$\ln x - {\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) |}_{1}^{+ \infty} =$

${\ln \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} |}_{1}^{+ \infty} = \ln 1 - \ln \frac{1}{\sqrt{2}} =$

$\ln 1 - \ln 1 + \ln \sqrt{2} = \frac{1}{2} \ln 2$

(5) 由曲线 $y = x e^{x}$ 与直线 $y = e x$ 所围成图形的面积 $S =$

在本题中，需要注意书写，不要把 $e^{x}$ 和 $e x$ 混淆。

首先：

$x e^{x} = e x \Rightarrow x = 0, x = 1$

又（这一步的目的在于要判断清楚 $x e^{x}$ 和 $e x$ 在区间 $(0, 1)$ 上的大小问题）：

$x = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \sqrt{e} < \frac{1}{2} e \Rightarrow e x > x e^{x} \Rightarrow$

于是：

$S = \int_{0}^{1} (e x - x e^{x}) d x \Rightarrow$

$S = e \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x d (e^{x}) \Rightarrow$

$S = \frac{1}{2} e - [{x e^{x} |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x] \Rightarrow$

$S = \frac{1}{2} e - [e - (e - 1)] = \frac{e}{2} - 1$

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