1990 年考研数二真题解析

六、解答题 (本题满分 9 分)

设 $f(x)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$, 其中 $x>0$, 求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.

注意：解答此类问题，先别想着有什么技巧，先按照题目所问，算几步看一看。

$$F(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t+{\int }_1^{\frac{1}{x}}\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}x$$

变限积分问题一般都是要求导：

$$F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{1+x}-\frac{1}{x^2}\frac{\ln \frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{x\ln x}{x(1+x)}+\frac{\ln x}{x(1+x)}=\frac{\ln x(x+1)}{x(1+x)}$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{x}\Rightarrow$$

$$F(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\int F^{\prime }(x)\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=\int \ln x\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x+C$$

或者：

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^{\frac{1}{x}}\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t\Rightarrow t=\frac{1}{u}\Rightarrow$$

$$t\in (1,\frac{1}{x})\Rightarrow u\in (1,x)\Rightarrow \mathrm{d}t=\frac{-1}{u^2}\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln \frac{1}{u}}{1+\frac{1}{u}}\cdot \frac{-1}{u^2}\mathrm{d}u=$$

$${\int }_1^x\frac{0-\ln u}{1+u}\cdot \frac{-1}{u}\mathrm{d}u={\int }_1^x\frac{\ln u}{u(1+u)}\mathrm{d}u=$$

$${\int }_1^x\frac{\ln t}{t(1+t)}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

于是：

$$F(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}tt{\int }_1^x\frac{\ln t}{t(1+t)}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_1^x\frac{\ln t(t+1)}{t(1+t)}\mathrm{d}t={\int }_1^x\frac{\ln t}{t}=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x+C$$