1990 年考研数二真题解析

三、解答题 (本题满分 25 分, 每小题 5 分)

(1) 已知 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+a}{x-a}\right)}^x=9$, 求常数 $a$.

$$x\to \mathrm{\infty }\Rightarrow$$

$${(1+\frac{x+a}{x-a}-1)}^x={(1+\frac{x+a-x+a}{x-a})}^x=$$

$${(1+\frac{2a}{x-a})}^{\frac{x-a}{2a}\cdot x\cdot \frac{2a}{x-a}}=$$

$$e^{\frac{2ax}{x-a}}=e^{2a}=9\Rightarrow 2a=\ln 9\Rightarrow a=\ln 3$$

(2) 求由方程 $2y-x=(x-y)\ln (x-y)$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的微分 $\mathrm{d}y$.

注意：求微分的本质就是求导，只是在求微分的时候要保留 $\mathrm{d}x$ 和 $\mathrm{d}y$.

$$2y-x=(x-y)\ln (x-y)\Rightarrow$$

$$2y-x=x\ln (x-y)-y\ln (x-y)\Rightarrow$$

求导：

$$2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1=\ln (x-y)+x\cdot \frac{1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{x-y}-$$

$$[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ln (x-y)+y\cdot \frac{1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{x-y}]\Rightarrow$$

$$2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1=\ln (x-y)-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ln (x-y)+$$

$$(x-y)\cdot \frac{1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{x-y}\Rightarrow$$

$$2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1=\ln (x-y)-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ln (x-y)+1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\ln (x-y)-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ln (x-y)+2\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}[3+\ln (x-y)]=2+\ln (x-y)\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}y=\frac{\ln (x-y)+2}{\ln (x-y)+3}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{d}y=\frac{\ln (x-y)+3-1}{\ln (x-y)+3}\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}y=1-\frac{1}{\ln (x-y)+3}$$

(3) 求曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x>0)$ 的拐点.

注意：本题已经限定了 $x>0$.

$$y^{\prime }=\frac{-2x}{{(1+x^2)}^2}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{-2{(1+x^2)}^2+2x\cdot 2(1+x^2)\cdot 2x}{{(1+x^2)}^4}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=0\Rightarrow$$

$$-2{(1+x^2)}^2+8x^2(1+x^2)=0\Rightarrow 1+x^2\ne 0\Rightarrow$$

$$-2(1+x^2)+8x^2=0\Rightarrow -(1+x^2)+4x^2=0\Rightarrow$$

$$4x^2-1-x^2=0\Rightarrow 3x^2-1=0\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$x>0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow y\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{3}{4}\Rightarrow$$

拐点为：

$$(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{3}{4})$$

(4) 计算 $\int \frac{\ln x}{(1-x{)}^2}\mathrm{d}x$.

由于：

$${\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

因此：

$$\int \frac{\ln x}{(1-x{)}^2}\mathrm{d}x=\int \ln x\mathrm{d}\left(\frac{1}{1-x}\right)\Rightarrow$$

$$\frac{\ln x}{1-x}-\int \frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

又：

$$\frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{x-x^2}\Rightarrow$$

于是：

$$\frac{\ln x}{1-x}-[-\ln |1-x|+\ln x]+C$$

$$\frac{\ln x}{1-x}+\ln |1-x|-\ln x+C$$

(5) 求微分方程 $x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0$ 满足条件 ${y|}_{x=\mathrm{e}}=1$ 的特解.

先变形：

$$x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0\Rightarrow$$

$$x\ln x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(y-\ln x)=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime }+\frac{y-\ln x}{x\ln x}=0\Rightarrow y^{\prime }+\frac{1}{x\ln x}y=\frac{1}{x}\Rightarrow$$

是一个一阶线性微分方程，因此：

$$y=[\int \frac{1}{x}\cdot e^{\int \frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+c]e^{-\int \frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

又：

$$\int \frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{\ln x}\mathrm{d}(\ln x)=\ln (\ln x)\Rightarrow$$

$$e^{\int \frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x}=\ln x$$

$$e^{-\int \frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x}=e^{\ln (\ln x{)}^{-1}}=\frac{1}{\ln x}\Rightarrow$$

于是：

$$y=[\int \frac{1}{x}\cdot \ln x\mathrm{d}x+C]\frac{1}{\ln x}\Rightarrow$$

$$y=[\int \ln x\mathrm{d}(\ln x)+C]\frac{1}{\ln x}\Rightarrow$$

$$y=[\frac{1}{2}(\ln x{)}^2+C]\frac{1}{\ln x}\Rightarrow$$

$$y=\frac{1}{2}\ln x+\frac{C}{\ln x}\Rightarrow$$

又：

$$x=e,y=1\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}+C=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

因此：

$$y=\frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{2\ln x}$$