二、选择题 (本题满分 15 分,每小题 3 分 )
(1) 已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b\right)=0$, 其中 $a, b$ 是常数,则
(A) $a=1, b=1$.
(B) $a=-1, b=1$.
(C) $a=1, b=-1$.
(D) $a=-1, b=-1$.
$$
x \rightarrow \infty \Rightarrow
$$
$$
\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b=0 \Rightarrow \frac{x^{2}-a x(x+1)-b(x+1)}{x+1}=0
$$
$$
\frac{x^{2}-a x^{2}-a x-b x-b}{x+1}=0 \Rightarrow 1-a=0 \Rightarrow
$$
$$
-a-b=0 \Rightarrow a=1, b=-1
$$
或者：
$$
\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b=0 \Rightarrow \frac{(x+1)(x-1)+1}{x+1}-a x-b=0=
$$
$$
x-1+\frac{1}{x+1}-a x-b=0 \Rightarrow
$$
$$
1-a=0,-1-b=0 \Rightarrow a=1, b=-1
$$
(2) 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 则 $\mathrm{d}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]$ 等于
(A) $f(x)$.
(B) $f(x) \mathrm{d} x$.
(C) $f(x)+C$.
(D) $f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
$$
F^{\prime}(x)=f(x) \Rightarrow
$$
$$
\mathrm{~ d} \left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]=
$$
$$
F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x
$$
$\mathrm{d}$ 与 $\int$ 放到一块就会“抵消”。
(3) 已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$, 则当 $n$ 为大于 2 的正整数时, $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 为
(A) $n ![f(x)]^{n+1}$.
(B) $n[f(x)]^{n+1}$.
(C) $[f(x)]^{2 n}$.
(D) $n ![f(x)]^{2 n}$.
$$
f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2} \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime \prime}(x)=2[f(x)]^{2-1} \cdot[f(x)]^{2}=2[f(x)]^{3}
$$
$$
f^{\prime \prime \prime}(x)=6[f(x)]^{2} \cdot[f(x)]^{2}=6[f(x)]^{4}
$$
于是，类推可得：
$$
f^{(n)}(x)=n ![f(x)]^{n+1}
$$
(4) 设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $F(x)=\int_{x}^{\mathrm{e}^{-x}} f(t) \mathrm{d} t$, 则 $F^{\prime}(x)$ 等于
(A) $-\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)-f(x)$.
(B) $-\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)+f(x)$.
(C) $\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)-f(x)$.
(D) $\mathrm{e}^{-x} f\left(\mathrm{e}^{-x}\right)+f(x)$.
$$
F^{\prime}(x)=\left(e^{-x}\right)^{\prime} f\left(e^{-x}\right)-(x)^{\prime} f(x) \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(x)=-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)
$$
或者：
$$
F(x)=\int_{x}^{0} f^{t} \mathrm{d} t+\int_{0}^{e^{-x}} f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$
$$
F(x)=-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{e^{-x}} f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$
$$
F^{\prime}(x)=-f(x)-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)
$$
(5) 设 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)}{x}, x \neq 0, \\ f(0), x=0,\end{array}\right.$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, $f^{\prime}(0) \neq 0, f(0)=0$, 则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的
(A) 连续点.
(B) 第一类间断点.
(C) 第二类间断点.
(D) 连续点或间断点不能由此确定.
由于：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} F(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime}(0) \neq 0
$$
于是：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} F(x) \neq 0
$$
又：
$$
F(0)=f(0)=0
$$
因此，$x = 0$ 一定是 $F(x)$ 的一个可去间断点。
注意：题目问的是 $F(x)$ 而不是 $f(x)$.