1990 年考研数二真题解析

二、选择题 (本题满分 15 分,每小题 3 分 )

(1) 已知 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2}{x+1}-ax-b)=0$, 其中 $a,b$ 是常数,则

(A) $a=1,b=1$.
(B) $a=-1,b=1$.
(C) $a=1,b=-1$.
(D) $a=-1,b=-1$.

$$x\to \mathrm{\infty }\Rightarrow$$

$$\frac{x^2}{x+1}-ax-b=0\Rightarrow \frac{x^2-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}=0$$

$$\frac{x^2-a{x}^2-ax-bx-b}{x+1}=0\Rightarrow 1-a=0\Rightarrow$$

$$-a-b=0\Rightarrow a=1,b=-1$$

或者：

$$\frac{x^2}{x+1}-ax-b=0\Rightarrow \frac{(x+1)(x-1)+1}{x+1}-ax-b=0=$$

$$x-1+\frac{1}{x+1}-ax-b=0\Rightarrow$$

$$1-a=0,-1-b=0\Rightarrow a=1,b=-1$$

(2) 设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续, 则 $\mathrm{d}[\int f(x)\mathrm{d}x]$ 等于

(A) $f(x)$.
(B) $f(x)\mathrm{d}x$.
(C) $f(x)+C$.
(D) $f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

$$F^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}[\int f(x)\mathrm{d}x]=$$

$$F^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$$

$\mathrm{d}$ 与 $\int$ 放到一块就会“抵消”。

(3) 已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数, 且 $f^{\prime }(x)=[f(x){]}^2$, 则当 $n$ 为大于 2 的正整数时, $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 为

(A) $n![f(x){]}^{n+1}$.
(B) $n[f(x){]}^{n+1}$.
(C) $[f(x){]}^{2n}$.
(D) $n![f(x){]}^{2n}$.

$$f^{\prime }(x)=[f(x){]}^2\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)=2[f(x){]}^{2-1}\cdot [f(x){]}^2=2[f(x){]}^3$$

$$f^{\prime \prime \prime }(x)=6[f(x){]}^2\cdot [f(x){]}^2=6[f(x){]}^4$$

于是，类推可得：

$$f^{(n)}(x)=n![f(x){]}^{n+1}$$

(4) 设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $F(x)={\int }_x^{{\mathrm{e}}^{-x}}f(t)\mathrm{d}t$, 则 $F^{\prime }(x)$ 等于

(A) $-{\mathrm{e}}^{-x}f\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)-f(x)$.
(B) $-{\mathrm{e}}^{-x}f\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)+f(x)$.
(C) ${\mathrm{e}}^{-x}f\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)-f(x)$.
(D) ${\mathrm{e}}^{-x}f\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)+f(x)$.

$$F^{\prime }(x)={\left(e^{-x}\right)}^{\prime }f\left(e^{-x}\right)-(x{)}^{\prime }f(x)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=-e^{-x}f\left(e^{-x}\right)-f(x)$$

或者：

$$F(x)={\int }_x^0{f}^t\mathrm{d}t+{\int }_0^{e^{-x}}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$F(x)=-{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{e^{-x}}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=-f(x)-e^{-x}f\left(e^{-x}\right)$$

(5) 设 $F(x)=\{\begin{array}{l}\frac{f(x)}{x},x\ne 0,\\ f(0),x=0,\end{array}$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, $f^{\prime }(0)\ne 0,f(0)=0$, 则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的

(A) 连续点.
(B) 第一类间断点.
(C) 第二类间断点.
(D) 连续点或间断点不能由此确定.

由于：

$$\underset{x\to 0}{lim}F(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)\ne 0$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}F(x)\ne 0$$

又：

$$F(0)=f(0)=0$$

因此，$x=0$ 一定是 $F(x)$ 的一个可去间断点。

注意：题目问的是 $F(x)$ 而不是 $f(x)$.