1989 年考研数二真题解析

七、解答题 (本题满分 11 分)

对函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 回答如下问题：

• 单调减区间
• 单调增区间
• 极值点
• 极值
• 凹区间
• 凸区间
• 拐点
• 渐近线

首先：

$$y^{\prime }={\left(\frac{x+1}{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{x^2-2x(x+1)}{x^4}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{-x^2-2x}{x^4}=-\frac{x+2}{x^3}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=0\Rightarrow \{\begin{array}{ll}& x=0\to \text{ 函数在此点无定义 }\\ & x=-2\end{array}$$

接着：

$$y^{\prime \prime }=-\frac{x^3-3x^2(x+2)}{x^6}=\frac{-x^3+3x^3+6x^2}{x^6}$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{2x^3+6x^2}{x^6}=\frac{2x+6}{x^4}=\frac{2(x+3)}{x^4}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=0\Rightarrow \{\begin{array}{ll}& x=0\to \text{ 函数在此点无定义 }\\ & x=-3\end{array}$$

又：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$$

$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$$

因此，该函数存在水平渐近线 $y=0$ 和垂直渐近线 $x=0$

综上：

• 单调减区间：$(-\mathrm{\infty },-2)$, $(0,+\mathrm{\infty })$
• 单调增区间：$(-2,0)$
• 极值点：$-2$
• 极值：$\frac{-1}{4}$
• 凹区间：$(-3,0)$, $(0,+\mathrm{\infty })$
• 凸区间：$(-\mathrm{\infty },-3)$
• 拐点：$(-3,\frac{-2}{9})$
• 渐近线：$x=0$, $y=0$