七、解答题 (本题满分 11 分)
对函数 $y=\frac{x+1}{x^{2}}$ 回答如下问题：
- 单调减区间
- 单调增区间
- 极值点
- 极值
- 凹区间
- 凸区间
- 拐点
- 渐近线
首先：
$$
y^{\prime}=\left(\frac{x+1}{x^{2}}\right)^{\prime}=\frac{x^{2}-2 x(x+1)}{x^{4}} \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime}=\frac{-x^{2}-2 x}{x^{4}}=-\frac{x+2}{x^{3}} \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
y^{\prime} = 0 \Rightarrow \begin{cases}
& x = 0 \rightarrow \text{ 函数在此点无定义 } \\
& x = -2
\end{cases}
}
$$
接着：
$$
y^{\prime \prime}=-\frac{x^{3}-3 x^{2}(x+2)}{x^{6}}=\frac{-x^{3}+3 x^{3}+6 x^{2}}{x^{6}}
$$
$$
y^{\prime \prime}=\frac{2 x^{3}+6 x^{2}}{x^{6}}=\frac{2 x+6}{x^{4}}=\frac{2(x+3)}{x^{4}} \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
y^{\prime \prime} = 0 \Rightarrow
\begin{cases}
& x = 0 \rightarrow \text{ 函数在此点无定义 } \\
& x = -3
\end{cases}
}
$$
又：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \textcolor{orangered}{ \infty }
$$
因此，该函数存在水平渐近线 $y = 0$ 和垂直渐近线 $x = 0$
综上：
- 单调减区间：$(- \infty, -2)$, $(0, + \infty)$
- 单调增区间：$(-2, 0)$
- 极值点：$-2$
- 极值：$\frac{-1}{4}$
- 凹区间：$(-3, 0)$, $(0, + \infty)$
- 凸区间：$(- \infty, -3)$
- 拐点：$(-3, \frac{-2}{9})$
- 渐近线：$x = 0$, $y = 0$