1989 年考研数二真题解析

五、解答题 (本题满分 7 分)

设 $f(x)=\sin x-\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $f(x)$ 为连续函数, 求 $f(x)$.

当没办法通过积分求解原函数的时候,就要通过转化为微分方程求解原函数。

$$
f(x)=\sin x-\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\sin x – \textcolor{orangered}{ x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t } + \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow \tag{1}
$$

对上面的式子的求导一定要彻底,否则就会产生下面这样的错误:

$$
\textcolor{yellow}{
f^{\prime}(x)=\cos x-x f(x)+x f(x)=\cos x
}
$$

正确的解法如下:

$$
f^{\prime}(x)=\cos x-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t-x f(x)+x f(x) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\cos x-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow \tag{2}
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=-\sin x-f(x) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)+f(x)=-\sin x \Rightarrow \lambda^{2}+1=-\sin x
$$

结合 (1) 式可得:

$$
x=0 \Rightarrow f(0)=0
$$

由 (2) 式可得:

$$
x=0 \Rightarrow f^{\prime}(0)=1
$$

又:

$$
\lambda^{2}+1=0 \Rightarrow \lambda= \pm i \cdot 1 \Rightarrow
$$

$$
y^{*}=e^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right) \Rightarrow
$$

$$
y *=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x
$$

非奇特:

$$
Y^{*}=x^{k} e^{2 x}\left(Q_{n}(x) \cos \beta x+\omega_{n}(x) \sin \beta x\right) \Rightarrow
$$

$$
\alpha=0, \quad \beta=1 \quad \alpha \pm i \beta=\lambda \Rightarrow k=1
$$

$$
Y^{*}=x(a \cos \beta x+b \sin (x) \Rightarrow
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=a \cos \beta x+b \sin x+x(-a \sin x+b \cos x)
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=-a \sin x+b \cos x+x(-a \cos x-b \sin x)
$$

$$
\textcolor{orangered}{
-a \sin x+b \cos x } \Leftrightarrow
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}+\left(Y^{*}\right)=-\sin x \Rightarrow
$$

$$
-a \sin x+b \cos x-a x \cos x-b x \sin x-a \sin x+b \cos x
$$

$$
+a x \cos x+b x \sin x=-\sin x \Rightarrow
$$

进而:

$$
-2 a \sin x+2 b \cos x=-\sin x \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{1}{2}, \ b=0 \Rightarrow
$$

$$
Y^{*}=\frac{1}{2} x \cos x \Rightarrow
$$

于是,通解为:

$$
Y=y ^{*} + Y^{*}=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+\frac{1}{2} x \cos x \Rightarrow
$$

又:

$$
x=0, Y^{\prime}(0)=0 \Rightarrow C_{1}=0
$$

$$
x=0, Y^{\prime}(0)=-C_{1} \Rightarrow \sin x+C_{2} \cos x+
$$

$$
\frac{1}{2} \cos x-\frac{1}{2} x \sin x=1 \Rightarrow
$$

$$
C_{2}+\frac{1}{2}=1 \Rightarrow C_{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
Y=\frac{1}{2} \sin x+\frac{1}{2} x \cos x
$$


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