1989 年考研数二真题解析

五、解答题 (本题满分 7 分)

设 $f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$, 其中 $f(x)$ 为连续函数, 求 $f(x)$.

当没办法通过积分求解原函数的时候，就要通过转化为微分方程求解原函数。

$$f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=\sin x–x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t\Rightarrow \end{array}$$

对上面的式子的求导一定要彻底，否则就会产生下面这样的错误：

$$f^{\prime }(x)=\cos x-xf(x)+xf(x)=\cos x$$

正确的解法如下：

$$f^{\prime }(x)=\cos x-{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-xf(x)+xf(x)\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f^{\prime }(x)=\cos x-{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow \end{array}$$

$$f^{\prime \prime }(x)=-\sin x-f(x)\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=-\sin x\Rightarrow {\lambda }^2+1=-\sin x$$

结合 (1) 式可得：

$$x=0\Rightarrow f(0)=0$$

由 (2) 式可得：

$$x=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=1$$

又：

$${\lambda }^2+1=0\Rightarrow \lambda =\pm i\cdot 1\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)\Rightarrow$$

$$y\ast =C_1\cos x+C_2\sin x$$

非奇特：

$$Y^{\ast }=x^k{e}^{2x}(Q_n(x)\cos \beta x+{\omega }_n(x)\sin \beta x)\Rightarrow$$

$$\alpha =0,\beta =1\alpha \pm i\beta =\lambda \Rightarrow k=1$$

$$Y^{\ast }=x(a\cos \beta x+b\sin (x)\Rightarrow$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }=a\cos \beta x+b\sin x+x(-a\sin x+b\cos x)$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }=-a\sin x+b\cos x+x(-a\cos x-b\sin x)$$

$$-a\sin x+b\cos x\iff$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }+\left(Y^{\ast }\right)=-\sin x\Rightarrow$$

$$-a\sin x+b\cos x-ax\cos x-bx\sin x-a\sin x+b\cos x$$

$$+ax\cos x+bx\sin x=-\sin x\Rightarrow$$

进而：

$$-2a\sin x+2b\cos x=-\sin x\Rightarrow$$

$$a=\frac{1}{2},b=0\Rightarrow$$

$$Y^{\ast }=\frac{1}{2}x\cos x\Rightarrow$$

于是，通解为：

$$Y=y^{\ast }+Y^{\ast }=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{1}{2}x\cos x\Rightarrow$$

又：

$$x=0,Y^{\prime }(0)=0\Rightarrow C_1=0$$

$$x=0,Y^{\prime }(0)=-C_1\Rightarrow \sin x+C_2\cos x+$$

$$\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}x\sin x=1\Rightarrow$$

$$C_2+\frac{1}{2}=1\Rightarrow C_2=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$Y=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}x\cos x$$