1989 年考研数二真题解析

四、解答题 (本题满分 6 分)

求微分方程 $x{y}^{\prime }+(1-x)y={\mathrm{e}}^{2x}(0<x<+\mathrm{\infty })$ 满足 $y(1)=0$ 的特解.

这是一个一阶线性微分方程：

$$x{y}^{\prime }+(1-x)y=e^{2x}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }+\frac{1-x}{x}y=\frac{e^{2x}}{x}\Rightarrow$$

$$y=[\int \frac{e^{2x}}{x}\cdot e^{\int \frac{1-x}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{-\int \frac{1-x}{x}\mathrm{d}x}$$

其中：

$$\int \frac{1-x}{x}\mathrm{d}x=\int (\frac{1}{x}-1)\mathrm{d}x=\ln x-x\Rightarrow$$

$$y=[\int \frac{e^{2x}}{x}{e}^{\ln x-x}\mathrm{d}x+C]e^{x-\ln x}\Rightarrow$$

$$y=[\int \frac{e^{2x}}{x}\cdot \frac{x}{e^x}\mathrm{d}x+C]\frac{e^x}{x}\Rightarrow$$

$$y=[\int e^x\mathrm{d}x+C]\cdot \frac{e^x}{x}\Rightarrow$$

$$y=[e^x+C]\cdot \frac{e^x}{x}$$

$$x=1,y=0\Rightarrow (e+C)e=0\Rightarrow c=-e$$

$$y=\frac{e^x}{x}(e^x-e)$$