四、解答题 (本题满分 6 分)
求微分方程 $x y^{\prime}+(1-x) y=\mathrm{e}^{2 x}(0<x<+\infty)$ 满足 $y(1)=0$ 的特解.
这是一个一阶线性微分方程：
$$
x y^{\prime}+(1-x) y=e^{2 x} \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime}+\frac{1-x}{x} y=\frac{e^{2 x}}{x} \Rightarrow
$$
$$
y=\left[\int \frac{e^{2 x}}{x} \cdot e^{\int \frac{1-x}{x} \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x+C\right] \cdot e^{-\int \frac{1-x}{x} \mathrm{~d} x}
$$
其中：
$$
\int \frac{1-x}{x} \mathrm{~d} x=\int\left(\frac{1}{x}-1\right) \mathrm{~d} x=\ln x-x \Rightarrow
$$
$$
y=\left[\int \frac{e^{2 x}}{x} e^{\ln x-x} \mathrm{~d} x+C\right] e^{x-\ln x} \Rightarrow
$$
$$
y=\left[\int \frac{e^{2 x}}{x} \cdot \frac{x}{e^{x}} \mathrm{~d} x+C\right] \frac{e^{x}}{x} \Rightarrow
$$
$$
y=\left[\int e^{x} \mathrm{~d} x+C\right] \cdot \frac{e^{x}}{x} \Rightarrow
$$
$$
y=\left[e^{x}+C\right] \cdot \frac{e^{x}}{x}
$$
$$
x=1, y=0 \Rightarrow(e+C) e=0 \Rightarrow c=-e
$$
$$
y=\frac{e^{x}}{x}\left(e^{x}-e\right)
$$