1989 年考研数二真题解析

三、选择题 (本题满分 18 分, 每小题 3 分)

(1) 当 $x>0$ 时,曲线 $y=x\sin \frac{1}{x}$

(A) 有且仅有水平渐近线.
(B) 有且仅有铅直渐近线.
(C) 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
(D) 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.

正确选项：A

$$x\to \mathrm{\infty }\frac{1}{x}\to 0\Rightarrow \sin \frac{1}{x}\sim \frac{1}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{1}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cdot \frac{1}{x}=1$$

于是可知，存在水平渐近线 $y=0$

虽然：

$$\underset{}{lim}x\sin \frac{1}{x}=x\cdot \text{ 有界函数 }=0$$

但因为当 $x\to 0^{+}$ 时，属于震荡逼近而不是渐进逼近，因此 $x=0$ 不能算是垂直渐近线——只有当间断点处的极限为无穷大时，才是垂直渐近线。

(2) 若 $3a^2-5b<0$, 则方程 $x^5+2a{x}^3+3bx+4c=0$

(A) 无实根.
(B) 有唯一实根.
(C) 有三个不同实根.
(D) 有五个不同实根.

正确选项：B

举特例：

$$3a^2-5b<0\Rightarrow a=0,b=1,c=0\Rightarrow$$

$$x^5+2a{x}^3+3bx+4c=0\Rightarrow$$

$$x^5+3x=0\Rightarrow x(x^4+3)=0$$

$$x=0\Rightarrow \text{ 实根 }\mathrm{d}{x}^4+3=0\Rightarrow \text{ 虚根 }$$

或者：

$$f(x)=x^5+2a{x}^3+3bx+4c\Rightarrow$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(x^5\right)=-\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^5\right)=+\mathrm{\infty }$$

$$f^{\prime }(x)=5x^4+6a{x}^2+3b$$

且易知 $f^{\prime }(x)>0$, 因此，函数单调递增，只可能与 $X$ 轴有一个交点，也就只可能存在一个实根。

(3) 曲线 $y=\cos x(-\frac{\pi }{2}⩽x⩽\frac{\pi }{2})$ 与 $x$ 轴所围成的图形, 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为

(A) $\frac{\pi }{2}$.
(B) $\pi$.
(C) $\frac{{\pi }^2}{2}$.
(D) ${\pi }^2$.

正确选项：C

$$V=\pi {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x=2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x=$$

$$2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}$$

(4) 设两函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x=a$ 处取得极大值, 则函数 $F(x)=f(x)g(x)$ 在 $x=a$ 处

(A) 必取极大值.
(B) 必取极小值.
(C) 不可能取极值.
(D) 是否取极值不能确定.

正确选项：D

$$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=0,g^{\prime }(x)=0\Rightarrow F^{\prime }(x)=0$$

$$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)g(x)+f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)+$$

$$f(x)g^{\prime \prime }(x)\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime \prime }(x)$$

$$f^{\prime \prime }(x)<0,g^{\prime \prime }(x)<0\Rightarrow$$

$$F^{\prime \prime }(x)>0\text{ OR }{F}^{\prime \prime }(x)<0$$

由于不知道 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的正负或者是否等于零，因此 $F^{\prime \prime }(x)$ 的正负其实是没办法确定的，因此 $F(x)$ 是否能取得极值是不确定的。

(5) 微分方程 $y^{\prime \prime }-y={\mathrm{e}}^x+1$ 的一个特解应具有形式 (式中 $a,b$ 为常数).

(A) $a{\mathrm{e}}^x+b$.
(B) $ax{\mathrm{e}}^x+b$.
(C) $a{\mathrm{e}}^x+bx$.
(D) $ax{\mathrm{e}}^x+bx$.

正确选项：B

先拆分：

$$y^{\prime \prime }-y={\mathrm{e}}^x+1\Rightarrow \{\begin{array}{ll}& y^{\prime \prime }-y=e^x\\ & y^{\prime \prime }-y=1\end{array}$$

$${\lambda }^2–1=0\Rightarrow {\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=1$$

$$Y_1^{\ast }=x^{k}a{e}^x\Rightarrow y^{\prime \prime }-y=e^x\Rightarrow Y_1^{\ast }=ax{e}^{\ast }$$

又：

$$y^{\prime \prime }-y=1\Rightarrow Y_2^{\ast }=b\Rightarrow$$

因此：

$$Y=Y_1^{\ast }+Y_2^{\ast }=ax{e}^x+b$$

(6) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内有定义,则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件是

(A) $\underset{h\to +\mathrm{\infty }}{lim}h[f(a+\frac{1}{h})-f(a)]$ 存在.
(B) $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$ 存在.
(C) $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ 存在.
(D) $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在.

正确选项：D

(A): 由于 $h\to +\mathrm{\infty }\Rightarrow \frac{1}{h}\to 0^{+}$, 因此，A 选项只是单侧的导数。

(B): 特例：$f(x)=\{\begin{array}{ll}& 0,x=a\\ & 1,x\ne a\end{array}\Rightarrow$ $\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}=\frac{0-0}{h}=0$

但是，特例中的函数在 $x=a$ 处并没有导数。

(C): 特例：$f(x)=|x-a|\Rightarrow$ $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\frac{|a+h-a|-|a-h-a|}{2h}=1$

但是，特例中的函数在 $x=a$ 处并没有导数。

(D):

$$\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\Rightarrow$$

$$\mathrm{\Delta }x=-h\Rightarrow$$

$$\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x)\Rightarrow \text{ 刚好符合定义 }$$