三、选择题 (本题满分 18 分, 每小题 3 分)
(1) 当 $x>0$ 时,曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}$
(A) 有且仅有水平渐近线.
(B) 有且仅有铅直渐近线.
(C) 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
(D) 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.
正确选项：A
$$
x \rightarrow \infty \frac{1}{x} \rightarrow 0 \Rightarrow \sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x} \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{1}{x}=1
$$
于是可知，存在水平渐近线 $y = 0$
虽然：
$$
\lim \limits_{} x \sin \frac{1}{x}=x \cdot \text { 有界函数 }=0
$$
但因为当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，属于震荡逼近而不是渐进逼近，因此 $x = 0$ 不能算是垂直渐近线——只有当间断点处的极限为无穷大时，才是垂直渐近线。
(2) 若 $3 a^{2}-5 b<0$, 则方程 $x^{5}+2 a x^{3}+3 b x+4 c=0$
(A) 无实根.
(B) 有唯一实根.
(C) 有三个不同实根.
(D) 有五个不同实根.
正确选项：B
举特例：
$$
3 a^{2}-5 b<0 \Rightarrow a=0, b=1, c=0 \Rightarrow
$$
$$
x^{5}+2 a x^{3}+3 b x+4 c=0 \Rightarrow
$$
$$
x^{5}+3 x=0 \Rightarrow x\left(x^{4}+3\right)=0
$$
$$
x=0 \Rightarrow \text { 实根 } \quad \mathrm{~d} x^{4}+3=0 \Rightarrow \text { 虚根 }
$$
或者：
$$
f(x)=x^{5}+2 a x^{3}+3 b x+4 c \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x^{5}\right)=-\infty
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(x^{5}\right)=+\infty
$$
$$
f^{\prime}(x)=5 x^{4}+6 a x^{2}+3 b
$$
且易知 $f^{\prime}(x) > 0$, 因此，函数单调递增，只可能与 $X$ 轴有一个交点，也就只可能存在一个实根。
(3) 曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形, 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为
(A) $\frac{\pi}{2}$.
(B) $\pi$.
(C) $\frac{\pi^{2}}{2}$.
(D) $\pi^{2}$.
正确选项：C
$$
V=\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x=2 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x=
$$
$$
2 \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^{2}}{2}
$$
(4) 设两函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x=a$ 处取得极大值, 则函数 $F(x)=f(x) g(x)$ 在 $x=a$ 处
(A) 必取极大值.
(B) 必取极小值.
(C) 不可能取极值.
(D) 是否取极值不能确定.
正确选项：D
$$
F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(x)=0, \ g^{\prime}(x)=0 \Rightarrow F^{\prime}(x)=0
$$
$$
F^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) g(x)+f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)+
$$
$$
\quad f(x) g^{\prime \prime}(x) \Rightarrow
$$
$$
F^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime \prime}(x)
$$
$$
f^{\prime \prime}(x)<0, \quad g^{\prime \prime}(x)<0 \Rightarrow
$$
$$
F^{\prime \prime}(x)>0 \quad \text { OR } F^{\prime \prime}(x)<0
$$
由于不知道 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的正负或者是否等于零，因此 $F^{\prime \prime}(x)$ 的正负其实是没办法确定的，因此 $F(x)$ 是否能取得极值是不确定的。
(5) 微分方程 $y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{x}+1$ 的一个特解应具有形式 (式中 $a, b$ 为常数).
(A) $a \mathrm{e}^{x}+b$.
(B) $a x \mathrm{e}^{x}+b$.
(C) $a \mathrm{e}^{x}+b x$.
(D) $a x \mathrm{e}^{x}+b x$.
正确选项：B
先拆分：
$$
y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{x}+1 \Rightarrow
\begin{cases}
& y^{\prime \prime}-y=e^{x} \\
& y^{\prime \prime}-y=1
\end{cases}
$$
$$
\lambda^{2} – 1 = 0 \Rightarrow \lambda_{1}= -1, \ \lambda_{2} = 1
$$
$$
Y_{1}^{*}=x^{k} a e^{x} \Rightarrow y^{\prime \prime}-y=e^{x} \Rightarrow Y_{1}^{*}=a x e^{*}
$$
又：
$$
y^{\prime \prime}-y=1 \Rightarrow Y_{2}^{*}=b \Rightarrow
$$
因此：
$$
Y=Y_{1}^{*}+Y_{2}^{*}=a x e^{x}+b
$$
(6) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内有定义,则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件是
(A) $\lim \limits_{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在.
(B) $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在.
(C) $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在.
(D) $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在.
正确选项：D
(A): 由于 $h \rightarrow+\infty \Rightarrow \frac{1}{h} \rightarrow 0^{+}$, 因此，A 选项只是单侧的导数。
(B): 特例：$f(x) = \begin{cases} & 0, x=a \\ & 1, x \neq a\end{cases} \Rightarrow$ $\frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}=\frac{0-0}{h} = 0$
但是，特例中的函数在 $x = a$ 处并没有导数。
(C): 特例：$f(x)=|x-a| \Rightarrow$ $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}=\frac{|a+h-a|-|a-h-a|}{2 h}=1$
但是，特例中的函数在 $x = a$ 处并没有导数。
(D):
$$
\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \Rightarrow
$$
$$
\Delta x=-h \Rightarrow
$$
$$
\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=f^{\prime}(x) \Rightarrow \text { 刚好符合定义 }
$$