1989 年考研数二真题解析

二、解答题 (本题满分 20 分, 每小题 4 分)

(1) 已知 $y=\arcsin {\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$, 求 $y^{\prime }$.

$$y^{\prime }={(\arcsin e^{-\sqrt{x}})}_x^{\prime }=$$

$$\sqrt{1-e^{-2\sqrt{x}}}{\left(e^{-\sqrt{x}}\right)}_x^{\prime }=$$

$$\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{1-e^{-2\sqrt{x}}}}\cdot (-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}})=$$

$$\frac{-e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt[2]{x(1-e^{-2\sqrt{x}})}}$$

(2) 求 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}$.

由于 ${\left(\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\right)}^{\prime }$ 会产生 $\left(\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}^2}\right)$ 这样的形式，因此：

$${\left(\frac{1}{\ln x}\right)}^{\prime }=\frac{-\frac{1}{x}}{{\ln }^{2}x}=-\frac{1}{x{\ln }^{2}x}\Rightarrow$$

$$\int \frac{1}{x{\ln }^{2}x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{\ln x}+C$$

或者：

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\Rightarrow \int \frac{1}{x{\ln }^{2}x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{{\ln }^{2}x}\mathrm{d}(\ln x)=$$

$$\int \frac{1}{t^2}\mathrm{d}t=\int t^{-2}\mathrm{d}t=-t^{-1}+C\Rightarrow$$

$$\int \frac{1}{x{\ln }^{2}x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{\ln x}+C$$

(3) 求 $\underset{x\to 0}{lim}(2\sin x+\cos x{)}^{\frac{1}{x}}$.

$$x\to 0\Rightarrow$$

$$(2\sin x+\cos x{)}^{\frac{1}{x}}\Rightarrow 1^{\mathrm{\infty }}\Rightarrow$$

$$[1+(2\sin x+\cos x-1){]}^{\frac{1}{2\sin x+\cos x-1}\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{2\sin x+\cos x-1}{1}}$$

$$=e^{\frac{2\sin x+\cos x-1}{x}}$$

其中：

$$\frac{2\sin x+\cos x-1}{x}\Rightarrow \text{ 洛必达 }\Rightarrow$$

$$\frac{2\cos x-\sin x}{1}=2$$

或者：

$$\frac{2\sin x+\cos x-1}{x}=\text{ 拆分 }\Rightarrow$$

$$\frac{2\sin x}{x}+\frac{\cos x-1}{x}=$$

$$\frac{2x}{x}+\frac{1-1}{x}=2+0=2$$

综上：

$$\underset{x\to 0}{lim}(2\sin x+\cos x{)}^{\frac{1}{x}}=e^2$$

(4) 已知 $\{\begin{array}{l}x=\ln (1+t^2),\\ y=\arctan t,\end{array}$ 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{1+t^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{2t}{1+t^2}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2t}=\frac{1}{2t}$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2t}\right)=\frac{-2}{4t^2}\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{-2}{4t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2t}=\frac{-(1+t^2)}{4t^3}$$

(5) 已知 $f(2)=\frac{1}{2},f^{\prime }(2)=0$ 及 ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$, 求 ${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(2x)\mathrm{d}x$.

$${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^1{x}^2\cdot \mathrm{d}[f^{\prime }(2x)]=$$

$$\frac{1}{2}[{x^2{f}^{\prime }(2x)|}_0^1-{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\cdot 2x\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$${\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\cdot 2x\mathrm{d}x=2{\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(2x)\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0\frac{1}{2}\cdot 2{\int }_0^{1}xd[f(2x)]=$$

$${xf(2x)|}_0^1-{\int }_0^{1}f(2x)\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(2x)\mathrm{d}(2x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$$

$${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}[0-0]=0$$