1987 年考研数二真题解析

七、计算题 (本题满分 10 分)

计算 1a2sin2x+b2cos2x dx, 其中 a,b 是不全为 0 的非负数.

a=0,b0 时:

I=1b2cos2x dx=1b2tanx+C

a0,b=0 时:

I=1a2sin2x dx=1a21sin2x dx=

1a2(cosxsinx)+c=1a2cotx+C

a0,b0 时:

I=1a2sin2x+b2cos2x dx=

1cos2xa2tan2x+b2 dx=

1b2+a2tan2x d(tanx)

令:

t=tanx

则:

I=1b2+a2t2 dt=

1b2[1+(atb)2]ba d(atb)

I=1b2ba11+(atb)2 d(atb)

I=1abarctan(atb)+C

I=1abarctan(atanxb)+C


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