1987 年考研数二真题解析

六、证明题 (本题满分 10 分)

(1) 证明: 若 f(x)(a,b) 内可导, 且导数 f(x) 恒大于零, 则 f(x)(a,b) 内单调增加.

设:

(x1,x2)(a,b)ε(x1,x2)

则由拉格朗日中值定理可知:

f(x2)f(x1)x2x1=f(ξ)

f(x)>0,x2>x1

f(x2)f(x1)>0f(x2)>f(x1)

(2) 若 g(x)x=c 处二阶导数存在, 且 g(c)=0,g(c)<0, 则 g(c)g(x) 的一个 极大值.

根据定义可知:

g(c)=limxcg(x)g(c)xc

g(c)<0

g(x)g(c)xc<0

g(c)=0

g(x)xc<0

于是,当 cδ<x<cxc<0 时:

g(x)>0g(c)>g(x)

c0 时:

g(x)<0g(c)<g(x)

根据极大值的定义可知,此时的 g(c) 是函数 g(x) 的一个极大值。


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