1987 年考研数二真题解析 六、证明题 (本题满分 10 分) (1) 证明: 若 f(x) 在 (a,b) 内可导, 且导数 f′(x) 恒大于零, 则 f(x) 在 (a,b) 内单调增加. 设: (x1,x2)∈(a,b)⇒ε∈(x1,x2) 则由拉格朗日中值定理可知: f(x2)−f(x1)x2−x1=f′(ξ) ∵f′(x)>0,x2>x1 ∴f(x2)−f(x1)>0⇒f(x2)>f(x1) (2) 若 g(x) 在 x=c 处二阶导数存在, 且 g′(c)=0,g′′(c)<0, 则 g(c) 为 g(x) 的一个 极大值. 根据定义可知: g′′(c)=limx→cg′(x)−g′(c)x−c ∵g′′(c)<0 ∴g′(x)−g′(c)x−c<0 ∵g′(c)=0 ∴g′(x)x−c<0 于是,当 c−δ<x<c⇒x−c<0 时: g′(x)>0⇒g(c)>g(x) 当 c0 时: g′(x)<0⇒g(c)<g(x) 根据极大值的定义可知,此时的 g(c) 是函数 g(x) 的一个极大值。 页码: 页 1, 页 2, 页 3, 页 4, 页 5, 页 6, 页 7, 页 8, 页 9, 页 10