计算定积分的神奇武器:区间再现公式(附若干例题)

一、前言 前言 - 荒原之梦

区间再现的强大之处在于,可以在【不改变】原有积分的【积分区间】的基础上,实现对被积函数的变形转化——这实际上就是利用原有被积函数的对称性,实现了【平移】。

有些时候,当我们对一个定积分题目无从下手时,试试区间再现,可能会有意想不到的效果。

总的来说,就是当我们要求解 I=abf(x) dx 时,通过变形将 I 转换为 abg(x) dx 的形式,这样一来就有:

I=12ab[f(x)+g(x)] dx

二、正文 正文 - 荒原之梦

Tips:

总的来说,遇到被积函数中含有三角函数或者 ex 这类函数,且积分上下限中含有 π0 或者积分上下限关于 0 对称的定积分,都可以尝试使用区间再现的方法求解。

1. 区间再现的常见情形一(积分下限为零)

I=0bf(x) dx

x=bt

t=bx

t(b,0)b0f(bt) dt

0bf(bt) dt

0bf(bx) dx

I=120b[f(x)+f(bx)] dx

2. 区间再现的常见情形二

I=aaf(x) dx

x=t

 dx= dt

I=aaf(t) dt=aaf(t) dt

I=12aa[f(x)+f(x)] dx

3. 例题一

I=0πx|sinxcosx|1+cos2xx=πt

t=πx(π,0) dx= dt

I=0π(πt)|sin(πt)cos(πt)|1+cos2(πt) dt

I=0π(πt)sin(t)cos(t)|1+cos2(t) dt

I=0π(πx)|sinxcosx|1+cos2x dx

I=π20π|sinxcos2x|1+cos2x dx

向左平移 π2:

x(π2,π2)cosx>0.

x(π2,0)sinx<0x(0,π2)sinx>0

I=π2π2π2|sinxcosx|1+cos2x dx

I=π0π2sinxcosx1+cos2x dx

(cos2x)=2sinxcosx

I=12π0π211+cos2x d(cos2x)

I=π2ln(1+cos2x)|0π2

I=π2[ln(1+0)ln(1+1)]

I=π2(ln2)I=πln22

4. 例题二

I=1111+e1x dxx=t

t(1,1) dx= dt

I=1111+e1t dtI=11e1t1+e1t dt

I=11e1x1+e1x dx

I=1211e1x+11+e1x dx

I=12111 dx=12(1+1)=1

5. 例题三

I=0πxsin9x dxx=πt

t=πxt(π,0) dx= dt

I=0π(πt)sin9(πt) dt

奇变偶不变,符号看象限:

I=0π(πt)sin9t dt

I=π0πsin9t dt0πtsin9t dt

I=π0πsin9x dx0πxsin9x dx

I=π0πsin9x dxI

2I=π0πsin9x dxI=π2×20π2sin9x dx

I=π2×2×89×67×45×23×1

I=128π315

6. 例题四

I=22cosxex+1 dxx=tx(2,2)

 dx= dt

I=22cos(t)et+1 dt

I=22+cost1+etet dtI=22+etcost1+et dt

I=1222[(1+et)cost1+et] dt

I=1222cost dt=12sint|22

I=12sin212sin(2)

7. 例题五

I=01arctanecosπx2x22x+1 dx

t=1xx=1t dx= dt

t(1,0)

I=01arctanecosπt2(1t)22(1t)+1 dt

I=01arctanecosπt2t22t+1 dt

又:

arctanx+arctan1x=π2

于是:

I=12π20112x22x+1 dx

I=π40112 d(2x1)12[1+(2x1)2]

I=π40111+(2x1)2 d(2x1)

I=π4arctan(2x1)|01

I=π4[arctan1arctan(1)]

I=π4(π4+π4)=π4×π2=π28

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