一、前言 
将二次型化为标准型和规范型有两种常用的方法,一种是正交变换法,另一种是配方法(其中最常用的是拉格朗日配方法)。
但是,使用配方的一个障碍是我们有时候比较难以凑出来平方项。
在蒲和平老师主编,由北京高等教育出版社于 2014 年 08 月出版的《线性代数疑难问题选讲》一书(ISBN 978-7-04-040392-3)中,提出了一个令人耳目一新的改进的配方法:偏导数法。
在本文中,荒原之梦(zhaokaifeng.com)将对蒲和平老师的这一偏导数配方法加以通俗的解析,希望能帮助大家更加顺畅的解答有关将二次型化为标准型或者规范型的问题。
二、正文 
1. 对含有平方项的二次型使用偏导数法
1.1 方法说明
已知,有形如下面这样的二次型:
假设
进而,有:
Tips:
在上面的式子中需要乘以
是因为 会产生 ——在 外部乘以 就可以保证和原来的二次型表达式 中的 相等,也就是至少消去 对后续化简操作的影响。
其中,
于是,继续令:
进而可得:
于是:
之后,继续重复上面的过程,即可完成对二次型
1.2 例题
用偏导数法,将二次型
1.3 解析
首先,令:
于是:
对比可知:
进而:
对比可知:
结合 (1) 和 (2) 式,可知:
于是:
又知下面的行列式不等于零(可逆):
因此,二次型
2. 对含没有平方项的二次型使用偏导数法
2.1 方法说明
已知,对二次型
在一个不含不平方项的二次型中,也一定至少有一个一次方项的系数是不等于零的。
则,假设
于是:
其中,让
于是,我们只需要和原二次型
2.2 例题
用偏导数法将二次型
2.3 解析
由于:
因此,令:
则:
于是,有:
验证可知,行列式
综上可知,二次型
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