彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系

一、前言

看完本文，你将彻底理解下面这两个图：

二、正文

一、函数在一点处连续的定义

定义内容：沿着任意方向趋近于一个点的极限存在且相等
定义说明：由于一元函数是平面曲线，只有“左”和“右”两个方向，因此，对一元函数而言，只要左极限等于右极限就是极限存在；但是，由于二元函数是一个空间曲面，有无数个方向，因此，二元函数一点处连续的几何意义就是无论从哪个方向趋近于这一点，极限都是存在且相等的；

准确的说，一个函数 $f(x)$ 若要在点 $x_{0}$ 处连续，则必须同时满足以下三个条件：

1. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有定义；
2. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限存在；
3. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限等于该点处的函数值 $f(x_{0})$.

需要注意的是，“连续”只能说明函数对应的平面图象（一元函数）或空间图像（二元函数）是“致密”的，但并不一定是“光滑”的（光滑就意味着可导）。

二、微分的几何意义

无论是几元函数，微分的本质来源都是“以曲代直”，因此，对一元函数（平面曲线）而言，微分就是尝试用很多非常“短”的直线代替曲线——当这些直线短到一定程度时，就变成了（可以看作）曲线的一个切线。同样的，对二元函数（空间曲面）而言，微分就是尝试用很多非常小的平面代替曲面，当这些平面小到一定程度时，就变成了（可以看作）曲面的一个切平面。

此外，为了和偏导数相区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数——简单的说，可微（可微分）就是全微分存在。

三、导数与偏导数

一元函数和二元函数都有微分的概念，但是，“导数”只是一元函数独有的概念，二元或者更高元的函数是没有“导数”这一概念的——二元及以上的函数只有“偏导数”的概念。这是因为，导数反应的是切线的变化率，而一元函数由于是位于平面中的，其切线的变化率只能相对于 $X$ 轴正方向发生，因此，一元函数在一点处只有“左导数”和“右导数”这两种导数。

但是，二元函数是位于空间中的，其在一点处可能向整个空间中的无数个方向有无数条切线。因此，对于二元函数 $f$，我们通常只研究其平行于 $X$ 轴方向上的偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 和平行于 $Y$ 轴方向上的偏导数 $f^{\prime}_{y}$

四、为什么连续不一定可微

对一元函数来说，“连续”就意味着曲线上没有间断点，对二元函数来说，“连续”就意味着曲面上没有“洞”。同时，我们也知道，要想在平面中唯一的确定一条直线，至少需要两个点（即“两点确定一条直线”）。进而，我们也知道，要想在空间中确定一个平面，至少需要两条直线（“即两线确定一个面”）。

但是，对于一元函数而言，如果我们只有一个“尖锐的点”，是没办法找到关于这个点的一个切线的，因为一个点无法确定一条线，这也就是为什么 $y=|x|$ 在 $x = 0$ 这各点处不可微，同时也不可导（在一元函数中，可微必可导，可导必可微，可微与可导等价）。

同样的，在二元函数中，如果我们只有一条“锋利的线”，也是没办法找到关于这条线上的某点的切平面的，因为一条线无法确定一个面，这也就是为什么所有位于 $z = |x| + |y|$ 的函数图像四条“锋利的棱”上的点都是不可微的（如下图）。

set term wxt size 800,600  # 设置绘图窗口尺寸
set xlabel "{/:Bold=15 x}" textcolor rgb "orange"  # 设置x轴标签
set ylabel "{/:Bold=15 y}" textcolor rgb "orange"  # 设置y轴标签
set zlabel "{/:Bold=15 z}" textcolor rgb "orange"  # 设置z轴标签
set view 60, 30           # 设置视角
set hidden3d              # 启用3D隐藏线算法
set style line 1 lc rgb "green" lw 2  # 设置函数图象线条样式
set border lc rgb "orange" lw 2  # 设置边框样式
set tics textcolor rgb "orange"  # 设置刻度线标签颜色
set key off  # 关闭图例
set style fill transparent solid 0.5  # 设置背景透明度

# 定义函数
f(x, y) = abs(x) + abs(y)

# 绘制图形
splot [-5:5] [-5:5] f(x, y) with lines ls 1

由于二元函数是没有“导数”这一概念的，二元函数只有比“导数”这一概念更弱一些的“偏导”概念——偏导“包含在”导数内。

但是，假设我们认为二元函数也有导数这一概念，那么，二元函数的可微就意味着可导，也就是意味着可偏导，但由于“偏导”更弱一些，因此，可偏导不一定可导，也就不一定可微——换句话说，二元函数的可微意味着一定存在切平面，而存在切平面就一定存在各个方向上的切线，因此，也一定存在平行于 $X$ 轴和 $Y$ 轴的切线，即可偏导。

总的来说，在一元函数中，只有光滑的弧形和直线才可微，在二元函数中，只有光滑的曲面和平面才可微——凡是尖锐的点和锋利的棱都是不可微的。

五、为什么偏导数存在且连续就可微，但反过来却不成立？

Tips:

通过下面的分析大家将发现，对于二元函数而言，证明偏导数不连续，进而得出不可微的结论是很容易的，但如果要直接证明偏导数连续，进而得出可微的结论是不可能的，但好在我们有公式可以用于证明可微：《证明二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处是否可微》

首先，我们来想一个问题：为什么在一元函数中可导和可微是等价的？

仔细想一想可以发现，在一元函数中，一个点只有左右两个导数，只要这两个导数相等，我们就说函数在该点处可导——此时的可导就证明了曲线在该点处是光滑的，因此也就是可微的。

但是，在二元函数中，一个点处并不是只有两个导数（准确的说是“偏导数”），而是存在无数个（偏）导数——也就是说，如果这无数个（偏）导数都存在，我们就可以说函数在该点处是可微的。

Tips:

在实际做题时，我们当然没办法直接证明无数个偏导数都存在，但是，我们可以使用放缩的方式证明偏导数在一点处的连续性，相关内容可以参阅这篇文章：《二元函数偏导数的连续性可以被直接证明吗？当然可以！》

但是，一般情况下，我们所说的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 指的都是分别平行于 $X$ 轴和 $Y$ 轴的偏导数，即是说，点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数就可以表示为：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} \frac{\partial z}{\partial y}
$$

但是，以上述这两个偏导数为“基准”，我们还可以把点 $(x_{0}, y_{0})$ 位于曲面 $z(x, y)$ 其他方向上的偏导数也写出来（这样的偏导数有无数个），例如，沿 $y=x$ 方向上的偏导数在 $(x_{0}, y_{0})$ 点的极限表达式为：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{+} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{-} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{+} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial y} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{-} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial y}
$$

因此，假如这无数个偏导数都存在，也就等价于偏导数连续（来自各个方向上的极限都相等），那么就能说明可微，但仅仅说 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 这有限个偏导数存在，并不能推出可微。

换个思考角度就是，一点处的偏导数存在且连续，就意味着该点任意方向都是光滑的（可导等价于“光滑”），但由可微为什么推不出偏导数连续呢？因为，一旦一点处可微了，则该点处的切平面也就唯一确定了，那么，除了这个切平面之外的其他地方是可以有“锋利的折痕”的，也就其他地方的偏导数可以不连续，因此，由一点处可微就不能推导出该点处的偏导数处处连续。

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