五次方程怎么算？别怕，考研真题不会超纲的

一、题目

已知方程 $\boldsymbol{x}^{5}-\mathbf{5} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{k}=\mathbf{0}$ 有三个不同的实根，则 $\boldsymbol{k}$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

Tips:

本题是 2019 年考研数学三试卷真题。

$$
x^{5}-5 x+k=0 \Rightarrow
$$

$$
k=5 x-x^{5}
$$

令：

$$
y_{1}=k, \ y_{2}=5 x-x^{5}
$$

则：

$$
y_{2}^{\prime}=5-5 x^{4} \Rightarrow y_{2}^{\prime}=0 \Rightarrow x= \pm 1
$$

$$
x \in(-\infty,-1) \Rightarrow y_{2}^{\prime}<0
$$

$$
x \in(-1,1) \Rightarrow y_{2}^{\prime}>0
$$

$$
x \in(1,+\infty) \Rightarrow y_{2}^{\prime}<0
$$

$$
x=-1 \Rightarrow y_{2}=-5+1=-4
$$

$$
x=1 \Rightarrow y_{2}=5-1=4
$$

因此：

$$
k \in (-4, 4)
$$

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