五次方程怎么算？别怕，考研真题不会超纲的

一、题目

已知方程 $x^{5} - 5 x + k = 0$ 有三个不同的实根，则 $k$ 的取值范围是多少？

难度评级：

Tips:

本题是 2019 年考研数学三试卷真题。

$x^{5} - 5 x + k = 0 \Rightarrow$

$k = 5 x - x^{5}$

令：

$y_{1} = k, y_{2} = 5 x - x^{5}$

则：

$y_{2}^{'} = 5 - 5 x^{4} \Rightarrow y_{2}^{'} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

$x \in (- \infty, - 1) \Rightarrow y_{2}^{'} < 0$

$x \in (- 1, 1) \Rightarrow y_{2}^{'} > 0$

$x \in (1, + \infty) \Rightarrow y_{2}^{'} < 0$

$x = - 1 \Rightarrow y_{2} = - 5 + 1 = - 4$

$x = 1 \Rightarrow y_{2} = 5 - 1 = 4$

因此：

$k \in (- 4, 4)$

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