有无穷多解的非齐次线性方程组扩展矩阵的秩一定小于未知数的个数

一、题目

已知方程组 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & a-2 \\ 3 & a & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ a \\ 16\end{array}\right]$ 有无穷多解，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & a-2 & a \\ 3 & a & 5 & 16\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & a-2 & a \\ 0 & a+3 & 14 & 10\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\frac{a+3}{1}=\frac{10}{a}=\frac{14}{a-2} \Rightarrow
$$

$$
10(a-2)=14 a \Rightarrow
$$

$$
10 a-20=14 a \Rightarrow
$$

$$
-20=4 a \Rightarrow a=-5
$$

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