二元函数的可微性你会证明吗:偏导数都存在也不一定可微哦

题目 01

已知 f(x,y) = {x2yx2+y2,(x,y)(0,0)0,(x,y)=(0,0),f(x,y) 在点 (0,0) 处可微吗?

难度评级:

解析 01

由于:

0|x2yx2+y2||(x2+y2)yx2+y2|=|y|0

因此:

limx0y0x2yx2+y2=0fx(0,0)=

接着,我们验证该二元函数的偏导数是否都存在:

limΔx0y=0f(Δx,0)f(0,0)Δx=

limΔx0y=000Δx=0

fy(0,0)=limΔy0x=0f(0,Δy)f(0,0)Δy=

limΔy0x=000Δy=0

于是可知,该二元函数的偏导数都存在。

但是,偏导数都存在并不能说明该二元函数在这点处可微,要想可微,还必须满足《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住?其实你已经记住了!》这篇文章中的公式,于是:

limΔx0Δy0[f(Δx,Δy)f(0,0)][fx(0,0)+fy(0,0)](Δx)2+(Δy)2=

limΔx0Δy0f(Δx,Δy)(Δx)2+(Δy)2=

limΔx0Δy0(Δx)2Δy[(Δx)2+(Δy)2]32

接着,令 Δy=Δx, 则有:

limΔx0(Δx)3[2(Δx)2]32=

limΔx0(Δx)322(Δx)3

则:

limΔx0+(Δx)322|Δx|3=122

limΔx0(Δx)322|Δx|3=122

由于:

1221220

因此可知,由判断是否可微的公式得到的式子不仅极限不为零,而且极限不存在,因此,函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处不可微。


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