当变量趋于无穷大的时候，有关的量也可能变得无关：极限下的情况不能用有限时的思维判断

一、题目

已知 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ 的解，其中 $b,c$ 为正的常数，则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)$ 与解 $y(x)$ 的初值 $y(0),y^{\prime }(0)$ 及 $b,c$ 有关吗？

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二、解析

注意：本题在计算的过程中会用到一些关于 $e^x$ 的极限的一些结论，这些结论在这里，点击即可直达。

首先，求解出该二阶常系数齐次微分方程的特征值：

$$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2+b\lambda +c=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1={\lambda }_2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$$

于是可知，无论 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是互异实根，重实根还是共轭复数根，在 $b$ 和 $c$ 都是正数的情况下，实部 $\frac{-b}{2}$ 一定是小于零的。

下面分类讨论：

(1) 当 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是互异实根时：

$${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\Rightarrow$$

$$y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\Rightarrow$$

$${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=0$$

(2) 当 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是重实根时：

$${\lambda }_1={\lambda }_2\Rightarrow$$

$$y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}$$

$${\lambda }_1={\lambda }_2<0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=0$$

(3) 当 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是共轭复根时：

$$\lambda =\alpha \pm i\beta \Rightarrow$$

$$\alpha <0\Rightarrow$$

$$y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=0$$

综上可知，在 $b,c$ 为正的常数的【前提】下，$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)$ 与解 $y(x)$ 的初值 $y(0),y^{\prime }(0)$ 及 $b,c$【均无关】。

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