当变量趋于无穷大的时候,有关的量也可能变得无关:极限下的情况不能用有限时的思维判断

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 y=y(x)y+by+cy=0 的解,其中 b,c 为正的常数,则 limx+y(x) 与解 y(x) 的初值 y(0),y(0)b,c 有关吗?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

注意:本题在计算的过程中会用到一些关于 ex 的极限的一些结论,这些结论在这里,点击即可直达

首先,求解出该二阶常系数齐次微分方程的特征值:

y+by+cy=0

λ2+bλ+c=0

λ1=λ2=b±b24c2

于是可知,无论 λ1λ2 是互异实根,重实根还是共轭复数根,在 bc 都是正数的情况下,实部 b2 一定是小于零的。

下面分类讨论:

(1) 当 λ1λ2 是互异实根时:

λ1λ2

y(x)=C1eλ1x+C2eλ2x

λ1<0,λ2<0

limx+y(x)=0

(2) 当 λ1λ2 是重实根时:

λ1=λ2

y(x)=(C1+C2x)eλ1x

λ1=λ2<0

limx+y(x)=0

(3) 当 λ1λ2 是共轭复根时:

λ=α±iβ

α<0

y(x)=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

limx+y(x)=0

综上可知,在 b,c 为正的常数的【前提】下,limx+y(x) 与解 y(x) 的初值 y(0),y(0)b,c【均无关】。


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