分块矩阵的 n 次方：初等矩阵的 n 次方、秩为 1 的矩阵的 n 次方

一、题目

已知 $A = [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \end{array}]$ , 则 $A^{5} = ?$

难度评级：

已知：

$A = [\begin{array}{ll} B & O \\ O & C \end{array}] \Rightarrow$

$A^{n} = [\begin{array}{cc} B^{n} & O \\ O & C^{n} \end{array}]$

且：

$B = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \Rightarrow$

Tips:

矩阵 $B$ 就是一个交换了第一行和第二行的初等矩阵，每自乘依次都会交换一次第一行和第二行。

$B^{2 k} = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \Rightarrow$

$B^{2 k + 1} = [\begin{array}{cc} 0 & 10 \\ 1 & 0 \end{array}]$

$r (C) = 1 \Rightarrow$

Tisp:

矩阵 $C$ 是秩为 $1$ 的矩阵，其性质可以参考《秩为 1 的矩阵的性质总结》

$c^{n} = [tr (c)]^{n - 1} \cdot C$

于是：

$B^{5} = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$

$C^{5} = 2^{4} \cdot C \Rightarrow$

$C^{5} = [\begin{array}{cc} 2^{4} & - 2^{4} \\ - 2^{4} & 2^{4} \end{array}] \Rightarrow$

$A^{5} = [\begin{array}{cc} B^{5} & O \\ O & C^{5} \end{array}] \Rightarrow$

$A^{5} = [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{4} & - 2^{4} \\ 0 & 0 & - 2^{4} & 2^{4} \end{array}]$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！