二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗？没有，但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值要与特征向量顺序保持一致

一、题目

已知 $\mathit{\alpha }=(1,-1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 是二次型 ${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}=a{x}_1^2-2x_3^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2b{x}_2{x}_3$ 的特征向量, 则此二次型经正交变换所得标准形是（）

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二、解析

求解二次型的标准型主要就是求解出二次型矩阵的特征值。但是，本题中的二次型矩阵包含几个未知数，因此，我们需要首先建立等式，将未知数求解出来，建立等式所用的公式就是：

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

即：

$$\left[\begin{array}{ccc}a& -1& 1\\ -1& 0& b\\ 1& b& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{r}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}a+1=\lambda \\ -1=-\lambda \\ 1-b=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =1\\ b=1\\ a=0\end{array}$$

于是：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right]\Rightarrow |\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -1\\ 1& \lambda & -1\\ -1& -1& \lambda +2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 1-\lambda & 0\\ 0& \lambda -1& \lambda +1\\ -1& -1& \lambda +2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 2-2\lambda & 0\\ 0& \lambda -1& \lambda +1\\ -1& 0& \lambda +2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)-2(1-\lambda )(\lambda +1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)+2(\lambda -1)(\lambda +1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)[(\lambda -1)(\lambda +2)+2(\lambda +1)]=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=1$$

$$(\lambda -1)(\lambda +2)+2(\lambda +1)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2+\lambda -2+2\lambda +2=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2+3\lambda =0\Rightarrow {\lambda }_2=0\Rightarrow$$

$$\lambda +3=0\Rightarrow {\lambda }_3=-3.$$

于是，$A$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{ll}& {\lambda }_1=1\\ & {\lambda }_2=0\\ & {\lambda }_3=-3\end{array}$$

因此，标准型为：

$$y_1^2–3y_3^2.$$

Tips:

二次型中标准型所用的特征值的书写顺序没有特殊要求（也就是说顺序怎么样都可以），但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值的顺序就要与特征向量的顺序保持一致。

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