二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗?没有,但一般按照从小到大,或者从大到小的顺序写——如果有特征向量,则特征值要与特征向量顺序保持一致

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 α=(1,1,0)T 是二次型 xTAx=ax122x322x1x2+2x1x3+2bx2x3 的特征向量, 则此二次型经正交变换所得标准形是()

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

求解二次型的标准型主要就是求解出二次型矩阵的特征值。但是,本题中的二次型矩阵包含几个未知数,因此,我们需要首先建立等式,将未知数求解出来,建立等式所用的公式就是:

Aα=λα

即:

[a1110b1b2][110]=λ[110]

{a+1=λ1=λ1b=0{λ=1b=1a=0

于是:

A=[011101112]|λEA|=0

|λ111λ111λ+2|=0

|λ11λ00λ1λ+111λ+2|=0

|λ122λ00λ1λ+110λ+2|=0

(λ1)2(λ+2)2(1λ)(λ+1)=0

(λ1)2(λ+2)+2(λ1)(λ+1)=0

(λ1)[(λ1)(λ+2)+2(λ+1)]=0

λ1=1

(λ1)(λ+2)+2(λ+1)=0

λ2+λ2+2λ+2=0

λ2+3λ=0λ2=0

λ+3=0λ3=3.

于是,A 的特征值为:

{λ1=1λ2=0λ3=3

因此,标准型为:

y123y32.

Tips:

二次型中标准型所用的特征值的书写顺序没有特殊要求(也就是说顺序怎么样都可以),但一般按照从小到大,或者从大到小的顺序写——如果有特征向量,则特征值的顺序就要与特征向量的顺序保持一致。


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