怎么保证这道题目中矩阵的秩为二：回头验证很重要

一、题目

已知向量组 $α_{1} = (a, a, 1)^{⊤}$ , $α_{2} = (a, 1, a)^{⊤}$ , $α_{3} = (1, a, a)^{⊤}$ 的秩是 $2$ , 则 $a = ?$

难度评级：

$r [\begin{array}{ccc} a & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & a \end{array}] = 2 \Rightarrow$

$r [\begin{array}{ccc} a & a & 1 \\ 0 & 1 - a & a - 1 \\ 0 & a - 1 & a - \frac{1}{a} \end{array}] = 2 \Rightarrow$

$r [\begin{array}{ccc} a & a & 1 \\ 0 & 1 - a & a - 1 \\ 0 & 0 & 2 a - \frac{1}{a} - 1 \end{array}] = 2 \Rightarrow$

$2 a - \frac{1}{a} - 1 = 0 \Rightarrow$

$2 a^{2} - 1 - a = 0 \Rightarrow$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow$

$a = 1, a = \frac{- 1}{2}$

将 $a = 1$ 和 $a = \frac{- 1}{2}$ 代入原来的矩阵可知，当 $a = 1$ 时，秩为 $1$ , 当 $a = \frac{- 1}{2}$ 时，秩为 $2$ , 因此：

$a = \frac{- 1}{2} .$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！