题目 01
已知，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0, \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在, 则 $a, b$ 分别为多少？
难度评级：
题目 02
由题可知：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}.
$$
则若 $a = -1$, 有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x (b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}-1} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} ( b \cos x – 1)
$$
若要令 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} ( b \cos x – 1)$ $=$ $\frac{1}{3}$, 则必须有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} ( \frac{4}{3} \cdot 1 – 1) \Rightarrow
$$
$$
b = \frac{4}{3}.
$$
综上可知：
$$
\begin{cases}
a = -1; \\
b = \frac{4}{3}.
\end{cases}
$$