由已知“猜”未知：一点处极限存在，则该点左右两侧的极限相等

题目 01

已知，函数 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x(b\cos x-1)}{{\mathrm{e}}^x+a},& x>0,\\ \frac{\sin x}{\ln (1+3x)},& x<0\end{array}$ 在 $x=0$ 点极限存在, 则 $a,b$ 分别为多少？

难度评级：

题目 02

由题可知：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sin x}{\ln (1+3x)}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}.$$

则若 $a=-1$, 有：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin x(b\cos x-1)}{{\mathrm{e}}^x+a}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x(b\cos x-1)}{{\mathrm{e}}^x-1}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(b\cos x–1)$$

若要令 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(b\cos x–1)$ $=$ $\frac{1}{3}$, 则必须有：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}(\frac{4}{3}\cdot 1–1)\Rightarrow$$

$$b=\frac{4}{3}.$$

综上可知：

$$\{\begin{array}{l}a=-1;\\ b=\frac{4}{3}.\end{array}$$