四阶行列式不能直接进行展开运算

一、题目

多项式 $f(x)$ $=$ $\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & x & 4 & 1 \\ 3 & 4 & x & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ 中，$x^{2}$ 项的系数是多少？

难度评级：

二、解析

由于四阶行列式不能直接进行展开运算，因此，我们需要用代数余子式对该行列式进行降阶。同时，由于题目中只要求解 $x^{2}$ 项的系数，因此，我们只考虑会产生 $x^{2}$ 的计算步骤即可，其他步骤可以直接忽略。

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & x & 4 & 1 \\ 3 & 4 & x & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}-3 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & x & 4 & 1 \\ 3 & 4 & x & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|=
$$

$$
\left|\begin{array}{cccc}-3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & x-1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & x-2 & 2 \\ 4 & -2 & -1 & 3\end{array}\right|=
$$

按照第 1 行展开：

$$
(-3)\left|\begin{array}{ccc}x-1 & 3 & 1 \\ 2 & x-2 & 2 \\ -2 & -1 & 3\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}2 & x-1 & 3 \\ 3 & 2 & x-2 \\ 4 & -2 & -1\end{array}\right| \Rightarrow
$$

只考虑可能产生 $x^{2}$ 的部分：

$$
(-3) \times 3(x-1)(x-2)-4(x-1)(x-2) \Rightarrow
$$

$$
(-9-4)(x-1)(x-2) \Rightarrow
$$

再次只考虑可能产生 $x^{2}$ 的部分：

$$
(-13) \cdot x^{2}.
$$

综上可知，$x^{2}$ 项的系数是 $-13.$

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