四阶行列式不能直接进行展开运算

一、题目

多项式 $f(x)$ $=$ $\left|\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\\ 2& x& 4& 1\\ 3& 4& x& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right|$ 中，$x^2$ 项的系数是多少？

难度评级：

二、解析

由于四阶行列式不能直接进行展开运算，因此，我们需要用代数余子式对该行列式进行降阶。同时，由于题目中只要求解 $x^2$ 项的系数，因此，我们只考虑会产生 $x^2$ 的计算步骤即可，其他步骤可以直接忽略。

$$\left|\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\\ 2& x& 4& 1\\ 3& 4& x& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}-3& 1& 1& 1\\ 2& x& 4& 1\\ 3& 4& x& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{cccc}-3& 0& 0& 1\\ 2& x-1& 3& 1\\ 3& 2& x-2& 2\\ 4& -2& -1& 3\end{array}\right|=$$

按照第 1 行展开：

$$(-3)\left|\begin{array}{ccc}x-1& 3& 1\\ 2& x-2& 2\\ -2& -1& 3\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}2& x-1& 3\\ 3& 2& x-2\\ 4& -2& -1\end{array}\right|\Rightarrow$$

只考虑可能产生 $x^2$ 的部分：

$$(-3)\times 3(x-1)(x-2)-4(x-1)(x-2)\Rightarrow$$

$$(-9-4)(x-1)(x-2)\Rightarrow$$

再次只考虑可能产生 $x^2$ 的部分：

$$(-13)\cdot x^2.$$

综上可知，$x^2$ 项的系数是 $-13.$

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