这是一个看上去像但又不像其实真是范德蒙行列式的式子

一、题目

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right|=?
$$

难度评级：

二、解析

Tips:

基础知识：《什么是范德蒙行列式？》

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right|=
$$

把第 1 行加到第 4 行：

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 10 & 10 & 10 & 10\end{array}\right|=
$$

提取第 4 行的公倍数：

$$
10 \cdot \left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=
$$

把第 4 行逐行与上一行交换，移动到第 1 行，此时的第 1 行就移动到了第 2 行：

$$
(-10) \cdot \left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3}\end{array}\right|=
$$

利用范德蒙行列式的规则进行计算：

$$
(-10) \times(2-1) \times(3-1) \times(4-1) \times(3-2) \times(4-2) \times (4-3)=
$$

$$
(-10) \times 1 \times 2 \times 3 \times 1 \times 2 \times 1=
$$

$$
(-10) \times 2 \times 3 \times 2=-120.
$$

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