一道很基础的累次积分“变形”题

一、题目

累次积分 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{1}f(x,y)\mathrm{d}y+{\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_0^{2-y}f(x,y)\mathrm{d}x$ 还可写成什么形式？

难度评级：

二、解析

对累次积分的变形，主要参考积分区域进行。

由题目所给式子可知：

$$\{\begin{array}{ll}& x\in (0,1);\\ & y\in (x,1)\end{array}$$

$$\{\begin{array}{ll}& y\in (1,2);\\ & x\in (0,2-y)\end{array}$$

于是，可以画出本题所给式子对应的积分区域，如图 01 所示：

综上可知，本题所给的式子还可以写成如下的形式：

$${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{2-x}f(x,y)\mathrm{d}y$$

---