参数方程求导：在一个等式的两个变量中，任意一个变量都可以看作另一个变量的函数

一、题目

已知：

$$
\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1, \\ t \sin y=y-\frac{\pi}{2}, \end{array}\right.
$$

其中，$t \geqslant 0$.

则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
x=0 \Rightarrow e^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1 \Rightarrow
$$

$$
1=3 t^{2}+2 \pi t+1 \Rightarrow
$$

$$
3 t^{2}+2 \pi t=0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& x = 0 \\
& t = 0 \\
& y = \frac{\pi}{2}
\end{cases}
$$

且：

$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x}
$$

于是：

$$
t \sin y=y-\frac{\pi}{2} \Rightarrow 把 y 看作 t 的函数 \Rightarrow
$$

$$
\sin y+t \cdot \cos y \cdot \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \Rightarrow
$$

$$
t=0, y=\frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$

$$1+0=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}=1
$$

$$
e^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1 \Rightarrow 把 t 看作 x 的函数 \Rightarrow
$$

$$
e^{x}=6 t \cdot \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x}+2 \pi \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x} \Rightarrow
$$

$$
x=0, t=0 \Rightarrow 1=2 \pi \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x} \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{2 \pi}
$$

综上可知：

$$
\left.\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=1 \times \frac{1}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi}.
$$

---