借助积分运算，通过全微分方程求解原函数

一、题目

已知：

$$
\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y
$$

则：

$$
f(x, y) = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
\frac{\partial f}{\partial x}=2 y^{2}+2 x y+3 x^{2} \Rightarrow 积分 \Rightarrow
$$

$$
f=2 y^{2} \cdot x+x^{2} \cdot y+x^{3}+\varphi(y)+C_{1}
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y}=4 x y+x^{2} \Rightarrow 积分 \Rightarrow
$$

$$
f=2 x \cdot y^{2}+x^{2} \cdot y+\varphi(x)+C_{2}
$$

联立 $①$ 和 $②$ 两式，可得：

$$
\left\{\begin{array}{l}\varphi(x)=x^{3} \\ \varphi(y)=0\end{array}\right.
$$

又令 $C$ $=$ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$, 则：

$$
f(x, y)=2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C
$$

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