借助积分运算，通过全微分方程求解原函数

一、题目

已知：

$d f (x, y) = (2 y^{2} + 2 x y + 3 x^{2}) d x + (4 x y + x^{2}) d y$

则：

$f (x, y) = ?$

难度评级：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} + 2 x y + 3 x^{2} \Rightarrow 积分 \Rightarrow$

$f = 2 y^{2} \cdot x + x^{2} \cdot y + x^{3} + φ (y) + C_{1}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x y + x^{2} \Rightarrow 积分 \Rightarrow$

$f = 2 x \cdot y^{2} + x^{2} \cdot y + φ (x) + C_{2}$

联立 $①$ 和 $②$ 两式，可得：

${\begin{cases} φ (x) = x^{3} \\ φ (y) = 0 \end{cases}$

又令 $C$ $=$ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ , 则：

$f (x, y) = 2 x y^{2} + x^{2} y + x^{3} + C$

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