用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）

一、题目

已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}$ $=$ $1$, 其中 $a$, $b$, $c$ 均为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0.0)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
x \rightarrow 0, y \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) \sim x^{2}+y^{2} \rightarrow 0
$$

又，当 $x \rightarrow 0$, $y \rightarrow 0$ 时：

$$
\frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)} = 1 存在
$$

于是：

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-a-b x-c y]=0 \Rightarrow
$$

$$
f(0,0)-a-0-0 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{d} f(0,0) = a.
$$

进而：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \ y \rightarrow 0}} [f(x, y)-f(0,0)-b x-c y]=0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \ y \rightarrow 0}}[f(x, y)-f(0,0)]=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \ y \rightarrow 0}}(b x+c y)
$$

从而：

$$
\frac{\partial f}{\partial x}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \ y=0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{x-0}=\frac{\lim \limits_{x \rightarrow 0} b x+0}{x}=b
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\lim \limits_{\substack{x = 0 \ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{y-0}=\frac{0+\lim \limits_{y \rightarrow 0} c y}{y}=c
$$

综上可得：

$$
\mathrm{d} f(x, y) \Big|_{(0,0)}=b \mathrm{d} x+c \mathrm{d} y
$$

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