用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）

一、题目

已知，连续函数 $z$ $=$ $f(x,y)$ 满足 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}}$ $=$ $0$, 则 ${\mathrm{d}z|}_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

要求解：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$$

就需要分别求解：

$${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(0,1)}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y=1\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,1)}{x-0}$$

$${\frac{\partial z}{\partial y}|}_{(0,1)}=\underset{\begin{array}{c}y\to 1\\ x=0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,1)}{y-1}$$

又，当 $x=0$, $y=1$ 时：

$$\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=0.$$

且下式的极限是存在的：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}}=0$$

于是：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}[f(x,y)-2x+y-2]=0\Rightarrow$$

注意：当分母趋于零时，如果要存在极限，则分子也必须趋于零，因为只有这样才可以构成 $\frac{0}{0}$ 型的极限。

$$f(0,1)-0+1-2=0\Rightarrow$$

$$f(0,1)-1=0\Rightarrow f(0,1)=1.$$

从而：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}[f(x,y)-2x+y-2]=0\Rightarrow$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}[f(x,y)-f(0,1)-2x+(y-1)]=0\Rightarrow$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}[f(x,y)-f(0,1)]=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}[2x-(y-1)].$$

进而：

$${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(0,1)}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0y=1\end{array}}{lim}\frac{2x-(y-1)}{x-0}=2$$

$${\frac{\partial z}{\partial y}|}_{(0,1)}=\underset{\begin{array}{c}y\to 1x=0\end{array}}{lim}\frac{2x-(y-1)}{y-1}=-1$$

综上可得：

$$\mathrm{d}z=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$$

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