求解偏导数的时候一定要清楚当前谁是自变量：文内有小技巧

一、题目

已知 $f(x, y)$ $=$ $\ln |x+y|$ $-$ $\sin (x y)$, 则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值是多少？

难度评级：

二、解析

处理这类求偏导数的问题时，我们主要需要注意的就是区分清楚当前谁被看做自变量，谁被看做常数，并严格按照求导公式计算即可。

小 技 巧 ：为了区分清楚谁当前被看做自变量，我们可以在被看做自变量的符号下面画一条线，以作区分和警示，防止计算出错。

首先（此时 $\underline{x}$ 是自变量，$y$ 看做常数）：

$$
\ln |\underline{x} + y| – \sin (\underline{x} y) \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial \underline{x}} = \frac{1}{|x + y|} – y \cos (xy).
$$

Next

进而（此时 $\underline{y}$ 是自变量，$x$ 看做常数）：

$$
\frac{1}{|x + \underline{y}|} – \underline{y} \cos (x \underline{y}) \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial \underline{y} } = \frac{-1}{(x + y)^{2}} – \cos (xy) + xy \sin (xy)
$$

Next

于是：

$$
\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y } \Bigg|_{(1, \pi)} = \frac{-1}{(1 + \pi)^{2}} – \cos \pi + \pi \sin \pi \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y } \Bigg|_{(1, \pi)} = \frac{-1}{(1 + \pi)^{2}} – (-1) + 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y } \Bigg|_{(1, \pi)} = 1 – \frac{1}{(1 + \pi)^{2}} = \frac{1 + \pi^{2} + 2\pi – 1}{(1+\pi)^{2}} = \frac{\pi (\pi + 2)}{(1+\pi)^{2}}.
$$

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