求解偏导数的时候一定要清楚当前谁是自变量：文内有小技巧

一、题目

已知 $f(x,y)$ $=$ $\ln |x+y|$ $-$ $\sin (xy)$, 则 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ 在点 $(1,\pi )$ 处的值是多少？

难度评级：

二、解析

处理这类求偏导数的问题时，我们主要需要注意的就是区分清楚当前谁被看做自变量，谁被看做常数，并严格按照求导公式计算即可。

小 技 巧 ：为了区分清楚谁当前被看做自变量，我们可以在被看做自变量的符号下面画一条线，以作区分和警示，防止计算出错。

首先（此时 $\underset{―}{x}$ 是自变量，$y$ 看做常数）：

$$\ln |\underset{―}{x}+y|–\sin (\underset{―}{x}y)\Rightarrow$$

$$\frac{\partial f}{\partial \underset{―}{x}}=\frac{1}{|x+y|}–y\cos (xy).$$

Next

进而（此时 $\underset{―}{y}$ 是自变量，$x$ 看做常数）：

$$\frac{1}{|x+\underset{―}{y}|}–\underset{―}{y}\cos (x\underset{―}{y})\Rightarrow$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial \underset{―}{y}}=\frac{-1}{(x+y{)}^2}–\cos (xy)+xy\sin (xy)$$

Next

于是：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(1,\pi )}=\frac{-1}{(1+\pi {)}^2}–\cos \pi +\pi \sin \pi \Rightarrow$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(1,\pi )}=\frac{-1}{(1+\pi {)}^2}–(-1)+0\Rightarrow$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(1,\pi )}=1–\frac{1}{(1+\pi {)}^2}=\frac{1+{\pi }^2+2\pi –1}{(1+\pi {)}^2}=\frac{\pi (\pi +2)}{(1+\pi {)}^2}.$$

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