如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换

一、题目

已知：

$$f(x)=x^2–x{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x+2{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$

则：

$$f(x)=?$$

难度评级：

二、解析

${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$ 和 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 都是数字，但是，由于函数 $f(x)$ 未知，因此，我们不能确定这两个部分的具体数值——

观察可知，只要我们确定了这两个积分的值，我们就可以求出函数 $f(x)$, 于是，求解函数 $f(x)$ 的问题，就变成了确定这两个积分数值的问题。

Next

于是，令：

$$a={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x.$$

$$b={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x.$$

Next

因此：

$$f(x)=x^2–ax+2b.$$

Next

于是：

$$a={\int }_0^2(x^2–ax+2b)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$(\frac{1}{3}{x}^3–\frac{a}{2}{x}^2+2bx){|}_0^2=$$

$$\frac{8}{3}–2a+4b.$$

Next

同样的：

$$b={\int }_0^1(x^2–ax+2b)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$(\frac{1}{3}{x}^3–\frac{a}{2}{x}^2+2bx){|}_0^1=$$

$$\frac{1}{3}–\frac{a}{2}+2b.$$

Next

即：

$$a=\frac{8}{3}–2a+4b.$$

$$b=\frac{1}{3}–\frac{a}{2}+2b.$$

Next

化简得：

$$3a=\frac{8}{3}+4b.$$

$$b=\frac{a}{2}–\frac{1}{3}.$$

Next

进而：

$$3a=\frac{8}{3}+2a–\frac{4}{3}\Rightarrow$$

$$a=\frac{4}{3}$$

$$b=\frac{1}{3}.$$

Next

于是：

$$f(x)=x^2–ax+2b\Rightarrow$$

$$f(x)=x^2–\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}.$$

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