如果一个部分无法直接被化简计算,就尝试整体代换

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

f(x)=x2x02f(x) dx+201f(x) dx

则:

f(x)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

02f(x) dx01f(x) dx 都是数字,但是,由于函数 f(x) 未知,因此,我们不能确定这两个部分的具体数值——

观察可知,只要我们确定了这两个积分的值,我们就可以求出函数 f(x), 于是,求解函数 f(x) 的问题,就变成了确定这两个积分数值的问题。

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于是,令:

a=02f(x) dx.

b=01f(x) dx.

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因此:

f(x)=x2ax+2b.

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于是:

a=02(x2ax+2b) dx

(13x3a2x2+2bx)|02=

832a+4b.

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同样的:

b=01(x2ax+2b) dx

(13x3a2x2+2bx)|01=

13a2+2b.

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即:

a=832a+4b.

b=13a2+2b.

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化简得:

3a=83+4b.

b=a213.

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进而:

3a=83+2a43

a=43

b=13.

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于是:

f(x)=x2ax+2b

f(x)=x243x+23.


荒原之梦考研数学思维导图
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