直接用求导公式求导太复杂时就要尝试用使用导数的定义求导:只适用于求解一点处的导数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知

z=(yx+sinxx2+2y2)x2+y2

zx|(0,1) = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

类似于《只对 x 求偏导时,y 的值可以提前代入》这篇文章中所介绍的方法,由于这里只对 x 求偏导,因此,我们可以先将 y=1 代入到原式中,以降低式子的复杂程度:

z(x,1)=(1x+sinxx2+212)x2+12

z(x,1)=(1+sinxx2+2)x2+1.

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但是,我们发现,直接对上面的式子使用求导公式进行求导运算仍然太过复杂——

由于这里要求解的其实是位于一点处的导数值,因此,我们可以尝试使用导数的定义进行求解:

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z(x,1) = ϕ(x), 则:

ϕ(0)=limx0ϕ(x)ϕ(0)x

ϕ(0)=limx0ϕ(x)1x

ϕ(0)=limx0(1+sinxx2+2)x2+11x

根据等价无穷小 limx0 (1+x)a1 ax

:在上面使用的等价无穷小的公式中,a 就相当于一个“篮子”,什么都可以装,可以用于替换成任何式子,无论这个式子是一个数字,还是一个不趋于零的含有变量的式子。

ϕ(0)=limx0x2+1sinxx2+2x

ϕ(0)=limx0sinxx2+1x2+2x

ϕ(0)=limx0sinxxx2+1x2+2

ϕ(0)=limx012=22.


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