复合函数求偏导:循环复用,逐渐化简

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 y=f(x)y=sin(x+y) 确定,则 d2y dx2=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

dydx=cos(x+y)[1+dydx]

dydx=cos(x+y)+cos(x+y)dydx

dydx[1cos(x+y)]=cos(x+y)

dydx=cos(x+y)1cos(x+y).

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进而:

dydx=cos(x+y)1cos(x+y)

d2ydx2=

sin(x+y)[1+dydx][1cos(x+y)]cos(x+y)sin(x+y)[1+dydx][1cos(x+y)]2

[1+dydx]{[sin(x+y)][1cos(x+y)]cos(x+y)sin(x+y)}[1cos(x+y)]2

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继续化简

[1+dydx]sin(x+y){cos(x+y)1cos(x+y)}[1cos(x+y)]2

[1+dydx]sin(x+y)[1cos(x+y)]2

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代入前面得到的 dydx 的值

[1+cos(x+y)1cos(x+y)]sin(x+y)[1cos(x+y)]2

[1cos(x+y)+cos(x+y)1cos(x+y)]sin(x+y)[1cos(x+y)]2

[11cos(x+y)]sin(x+y)[1cos(x+y)]2

sin(x+y)1cos(x+y)[1cos(x+y)]2

sin(x+y)[1cos(x+y)]3.

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综上可得:

d2ydx2=sin(x+y)[1cos(x+y)]3

d2ydx2=y[1cos(x+y)]3.


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