求微分方程 dydx = 2xyy2x22xy 满足指定条件的特解

一、题目题目 - 荒原之梦

求微分方程 dydx = 2xyy2x22xy 满足 y(1) = 2 的特解。

难度评级:

判断方程类型
一阶齐次
构造出 y/x
代入条件求出待定常数
写出特解

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察知,这是一个一阶齐次微分方程。

又:

dydx=2xyy2x22xy

dydx=2yx(yx)212yx

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u(x) = u = yx

dydx=2uu212u

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u = yx y = ux y = dydx = ux + u = xdudx + u

xdudx+u=2uu212u

xdudx=2uu212uu

xdudx=2uu212uu(12u)12u

xdudx=2uu212uu2u212u

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xdudx=2uu2u+2u212u

xdudx=u+u212u

du=u+u212udxx

12uu+u2du=dxx

12uu+u2du=dxx

12uu+u2du=ln|x|+C

上面的 ln|x| + C 也可以写成 ln|x| + lnC1 = ln|C1x|——只要能表示任意常数即可。

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1u+u2du2uu+u2du=ln|x|+C

1u(1+u)du211+udu=ln|x|+C

1u(1+u)du2ln|1+u|=ln|x|+C

(1u11+u)du2ln|1+u|=ln|x|+C

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ln|u|ln|1+u|2ln|1+u|=ln|x|+C

ln|u|3ln|1+u|=ln|x|+C

ln|u|ln|(1+u)3|=ln|x|+C

ln|u(1+u)3|=ln|x|+C

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ln|u(1+u)3|=ln|x|+ln|C1|

ln|u(1+u)3|=ln|C1x|

u(1+u)3=C1x

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yx(1+yx)3=C1x

yx(x+yx)3=C1x

yxx3(x+y)3=C1x

yx2(x+y)3=C1x.

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又因为,当 x = 1 的时候,y = 2, 所以:

yx2(x+y)3=C1x

2(1)3=C1

C1=2.

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综上可知,微分方程 dydx = 2xyy2x22xy 满足 y(1) = 2 的特解是:

yx2(x+y)3=2x

yx(x+y)3=2

xy=2(x+y)3.


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