三角函数 sincos 有理式积分的一般解题思路

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,荒原之梦网将阐述一种用于求解由三角函数 sincos 通过有理运算组成的有理式积分的一般思路,还将通过几道例题做进一步的说明和验证。

二、正文 正文 - 荒原之梦

首先,为了表述方便,我们做如下约定:

如果一个被积函数是通过对 sinxcosx 进行“加”、“减”、“乘”、“除”这四种有理运算得到的,那么,我们就将这个被积函数式记为:

T(sinx,cosx)

形式一

如果,对 T(sinx,cosx) 中的 sinx 取负数,所得到的式子 T(sinx,cosx) 和对 T(sinx,cosx) 整体取负数所得到的式子 T(sinx,cosx) 相等,即:

T(sinx,cosx)=T(sinx,cosx)

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那么,我们就可以利用 cosx 凑微分,即:

T(sinx,cosx)=T(sinx,cosx)

d(cosx)=sinxdx

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例如下面这个积分:

cos2xsinxsin2xdx

由于:

cos2(x)sin(x)sin2(x)dx=cos2xsinxsin2xdx

于是,我们可以“凑” d(cosx)——具体求解步骤可以查看荒原之梦网的下面这篇文章:

巧用三角函数凑微分,化不同为相同: cos2xsinxsin2x dx

形式二

如果,对 T(sinx,cosx) 中的 cosx 取负数,所得到的式子 T(sinx,cosx) 和对 T(sinx,cosx) 整体取负数所得到的式子 T(sinx,cosx) 相等,即:

T(sinx,cosx)=T(sinx,cosx)

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那么,我们就可以利用 sinx 凑微分,即:

T(sinx,cosx)=T(sinx,cosx)

d(sinx)=cosxdx

形式三

如果,对 T(sinx,cosx) 中的 sinxcosx 都取负数,所得到的式子 T(sinx,cosx) 和原来的式子 T(sinx,cosx) 相等,即:

T(sinx,cosx)=T(sinx,cosx)

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那么,我们就可以利用 tanx 凑微分,即:

T(sinx,cosx)=T(sinx,cosx)

d(tanx)=1cos2xdx

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例如下面这个积分:

cos2xcos2x(1+sin2x)dx

由于:

cos(2x)cos2(x)[1+sin2(x)]dx=cos2xcos2x(1+sin2x)dx

于是,我们可以“凑” d(tanx)——具体求解步骤可以查看荒原之梦网的下面这篇文章:

巧用三角函数凑微分,化不同为相同: cos2xcos2x(1+sin2x) dx


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