三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路

一、前言

在本文中，荒原之梦网将阐述一种用于求解由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 通过有理运算组成的有理式积分的一般思路，还将通过几道例题做进一步的说明和验证。

二、正文

首先，为了表述方便，我们做如下约定：

如果一个被积函数是通过对 $\sin x$ 与 $\cos x$ 进行“加”、“减”、“乘”、“除”这四种有理运算得到的，那么，我们就将这个被积函数式记为：

$$
T(\sin x, \cos x)
$$

形式一

如果，对 $T(\sin x, \cos x)$ 中的 $\sin x$ 取负数，所得到的式子 $T(-\sin x, \cos x)$ 和对 $T(\sin x, \cos x)$ 整体取负数所得到的式子 $- T(\sin x, \cos x)$ 相等，即：

$$
T(- \sin x, \cos x) = – T(\sin x, \cos x)
$$

Next

那么，我们就可以利用 $\cos x$ 凑微分，即：

$$
T(- \sin x, \cos x) = – T(\sin x, \cos x)
$$

$$
\Leftrightarrow
$$

$$
\mathrm{d} (\cos x) = – \sin x \cdot \mathrm{d} x
$$

Next

例如下面这个积分：

$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x
$$

由于：

$$
\int \frac{\cos^{2} (-x) \sin (-x)}{\sin^{2} (-x)} \mathrm{d} x = – \int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x
$$

于是，我们可以“凑” $\mathrm{d} (\cos x)$——具体求解步骤可以查看荒原之梦网的下面这篇文章：

《巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$》

形式二

如果，对 $T(\sin x, \cos x)$ 中的 $\cos x$ 取负数，所得到的式子 $T(\sin x, – \cos x)$ 和对 $T(\sin x, \cos x)$ 整体取负数所得到的式子 $- T(\sin x, \cos x)$ 相等，即：

$$
T(- \sin x, \cos x) = – T(\sin x, \cos x)
$$

Next

那么，我们就可以利用 $\sin x$ 凑微分，即：

$$
T(\sin x, – \cos x) = – T(\sin x, \cos x)
$$

$$
\Leftrightarrow
$$

$$
\mathrm{d} (\sin x) = \cos x \cdot \mathrm{d} x
$$

形式三

如果，对 $T(\sin x, \cos x)$ 中的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 都取负数，所得到的式子 $T(- \sin x, – \cos x)$ 和原来的式子 $T(\sin x, \cos x)$ 相等，即：

$$
T(- \sin x, – \cos x) = T(\sin x, \cos x)
$$

Next

那么，我们就可以利用 $\tan x$ 凑微分，即：

$$
T(- \sin x, – \cos x) = T(\sin x, \cos x)
$$

$$
\Leftrightarrow
$$

$$
\mathrm{d} (\tan x) = \frac{1}{\cos^{2} x} \cdot \mathrm{d} x
$$

Next

例如下面这个积分：

$$
\int \frac{\cos 2x}{\cos^{2} x(1 + \sin^{2} x)} \mathrm{d} x
$$

由于：

$$
\int \frac{\cos (-2x)}{\cos^{2} (-x)[1 + \sin^{2} (-x)]} \mathrm{d} x = \int \frac{\cos 2x}{\cos^{2} x(1 + \sin^{2} x)} \mathrm{d} x
$$

于是，我们可以“凑” $\mathrm{d} (\tan x)$——具体求解步骤可以查看荒原之梦网的下面这篇文章：

《巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos 2x}{\cos^{2} x(1 + \sin^{2} x)}$ $\mathrm{d} x$》

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