披着根号外衣的幂函数积分

一、题目

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x=?$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=?$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

幂函数的求导是很常见的，但有时候，某些幂函数会披上【根号】这个“外衣”，此时会对我们判断求导的方式产生一些干扰。

排除此类的干扰的方式就是在看到根号的时候就想一想，如果将其改写成指数（$x^n$），能否变成一个常见形式上的幂函数，并用幂函数的积分公式进行计算。

下面以三个题目为例。

本文中的 $C$ 表示任意常数。

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题目一

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x=$$

$$\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C.$$

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题目二

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$$

$$\int x^{\frac{-1}{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{\frac{-1}{2}+1}{x}^{\frac{-1}{2}+1}+C=2x^{\frac{1}{2}}+C.$$

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题目三

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x=$$

$$\int (1-x{)}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x=$$

$$(-1)\int (1-x{)}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}(-x)=$$

$$(-1)\int (1+t{)}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t=$$

$$(-1)\times \frac{1}{\frac{-1}{2}+1}(1+t{)}^{\frac{-1}{2}+1}+C=-2(1+t{)}^{\frac{1}{2}}+C=$$

$$-2(1-x{)}^{\frac{1}{2}}+C=-2\sqrt{1-x}+C.$$

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