三角函数凑微分搭配分部积分: 1cos3x dx

一、题目题目 - 荒原之梦

1cos3xdx=?

难度评级:

本题在定积分上的一个应用示例:《当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,由于:

(tanx)=1cos2x

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因此,我们可以有如下凑微分:

1cos3xdx=

1cosxd(tanx)=

secxd(tanx)

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分部积分

secxtanxtanxd(secx)=

secxtanxtanxsecxtanxdx=

secxtanxtan2xsecxdx=

secxtanxsin2xcos2x1cosxdx=

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secxtanx1cos2xcos3xdx=

secxtanx1cos3xdx+cos2xcos3xdx=

secxtanx1cos3xdx+1cosxdx=

secxtanx1cos3xdx+secxdx

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1cos3xdx=secxtanx1cos3xdx+secxdx

21cos3xdx=secxtanx+secxdx

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21cos3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|+C0

1cos3xdx=12secxtanx+12ln|secx+tanx|+C.

其中,C0C 都表示常数。


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