一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
本题在定积分上的一个应用示例:《当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解》
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
首先,由于:
$$
(\tan x)^{\prime} = \frac{1}{\cos^{2} x}
$$
Next
因此,我们可以有如下凑微分:
$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x =
$$
$$
\int \frac{1}{\cos x} \mathrm{d} (\tan x) =
$$
$$
\int \sec x \mathrm{d} (\tan x) \Rightarrow
$$
Next
分部积分 $\Rightarrow$
$$
\sec x \tan x – \int \tan x \mathrm{d} (\sec x) =
$$
$$
\sec x \tan x – \int \tan x \cdot \sec x \cdot \tan x \mathrm{d} x =
$$
$$
\sec x \tan x – \int \tan^{2} x \cdot \sec x \mathrm{d} x =
$$
$$
\sec x \tan x – \int \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} \cdot \frac{1}{\cos x} \mathrm{d} x =
$$
Next
$$
\sec x \tan x – \int \frac{1 – \cos^{2} x}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x =
$$
$$
\sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \frac{\cos^{2} x}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x =
$$
$$
\sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \frac{1}{\cos x} \mathrm{d} x =
$$
$$
\sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \sec x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$
Next
$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \sec x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$
$$
2 \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \sec x \tan x + \int \sec x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$
Next
$$
2 \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \sec x \tan x + \ln |\sec x + \tan x| + C_{0} \Rightarrow
$$
$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x| + C.
$$
其中,$C_{0}$ 和 $C$ 都表示常数。
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。