三角函数凑微分搭配分部积分：$\int$ $\frac{1}{\cos^{3} x}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

本题在定积分上的一个应用示例：《当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解》

二、解析

首先，由于：

$$
(\tan x)^{\prime} = \frac{1}{\cos^{2} x}
$$

Next

因此，我们可以有如下凑微分：

$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{\cos x} \mathrm{d} (\tan x) =
$$

$$
\int \sec x \mathrm{d} (\tan x) \Rightarrow
$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$
\sec x \tan x – \int \tan x \mathrm{d} (\sec x) =
$$

$$
\sec x \tan x – \int \tan x \cdot \sec x \cdot \tan x \mathrm{d} x =
$$

$$
\sec x \tan x – \int \tan^{2} x \cdot \sec x \mathrm{d} x =
$$

$$
\sec x \tan x – \int \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} \cdot \frac{1}{\cos x} \mathrm{d} x =
$$

Next

$$
\sec x \tan x – \int \frac{1 – \cos^{2} x}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \frac{\cos^{2} x}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \frac{1}{\cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \sec x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \sec x \tan x – \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x + \int \sec x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
2 \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \sec x \tan x + \int \sec x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

$$
2 \int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \sec x \tan x + \ln |\sec x + \tan x| + C_{0} \Rightarrow
$$

$$
\int \frac{1}{\cos^{3} x} \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x| + C.
$$

其中，$C_{0}$ 和 $C$ 都表示常数。

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