“区间再现”之于定积分，就如同“洛必达”之于极限：适用性很强！

一、题目

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

首先，根据“区间再现公式”，令：

$$t=\frac{\pi }{2}+0–x=\frac{\pi }{2}–x$$

于是：

$$x=\frac{\pi }{2}–t$$

$$\mathrm{d}x=–\mathrm{d}t$$

$$x\in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow t\in (\frac{\pi }{2},0)$$

Next

进而：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{\sin (\frac{\pi }{2}–t)}{\sin (\frac{\pi }{2}–t)+\cos (\frac{\pi }{2}–t)}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

Next

根据“奇变偶不变，符号看象限”原理，有：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos t}{\cos t+\sin t}\mathrm{d}t.$$

即：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x$$

Next

因此：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x]=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}.$$

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