计算定积分 ${\int }_0^{\pi }$ $x$ $f(\sin x)$ $\mathrm{d}x$

一、题目

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

令 $u$ $=$ $\pi$ $-$ $x$, $x$ $=$ $\pi$ $-$ $u$, 则：

$$–{\int }_{\pi }^0(\pi –u)f[\sin (\pi –u)]\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\pi }(\pi –u)f[\sin (\pi –u)]\mathrm{d}u\Rightarrow$$

Next

由于 $\sin (\pi –u)$ $=$ $\sin u$ $\Rightarrow$

$${\int }_0^{\pi }(\pi –u)f(\sin u)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$\pi {\int }_0^{\pi }f(\sin u)\mathrm{d}u–u{\int }_0^{\pi }f(\sin u)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

Next

再令 $u$ $=$ $x$ $\Rightarrow$

用什么字母表示变量都只是一种形式，因此，可以直接将式子中所有的变量 $x$ 替换为 $u$.

$$\pi {\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x–x{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x–x{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$2{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x.$$

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