已知 $y$ $=$ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$, 求 $y^{\prime }$

一、题目

已知：

$$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$$

求 $y^{\prime }$.

难度评级：

二、解析

如果要求导的式子是由多个因式的乘除以及幂次组成的，可以尝试对等式两边同时添加 $\ln$, 然后再同时对 $x$ 求导的方式来求解 $y^{\prime }$.

$$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\Rightarrow$$

Next

对等式两边同时添加 $\ln$ $\Rightarrow$

$$\ln y(x)=\ln [\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}]\Rightarrow$$

$$\ln y(x)=\ln [\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}{]}^{\frac{1}{2}}\Rightarrow$$

$$\ln y(x)=\frac{1}{2}\ln [\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}]\Rightarrow$$

$$\ln y(x)=\frac{1}{2}[\ln (x-1)(x-2)–\ln (x-3)(x-4)]\Rightarrow$$

$$\ln y(x)=\frac{1}{2}[\ln (x-1)+\ln (x-2)–\ln (x-3)–\ln (x-4)]\Rightarrow$$

Next

在等式两边同时对 $x$ 求导 $\Rightarrow$

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}–\frac{1}{x-3}–\frac{1}{x-4})\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}y(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}–\frac{1}{x-3}–\frac{1}{x-4})\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\cdot (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}–\frac{1}{x-3}–\frac{1}{x-4}).$$

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