已知 $y$ $=$ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$, 求 $y^{\prime}$

一、题目

已知：

$$
y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}
$$

求 $y^{\prime}$.

难度评级：

二、解析

如果要求导的式子是由多个因式的乘除以及幂次组成的，可以尝试对等式两边同时添加 $\ln$, 然后再同时对 $x$ 求导的方式来求解 $y^{\prime}$.

$$
y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} \Rightarrow
$$

Next

对等式两边同时添加 $\ln$ $\Rightarrow$

$$
\ln y(x) = \ln \Bigg[ \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} \Bigg] \Rightarrow
$$

$$
\ln y(x) = \ln \Bigg[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \Bigg]^{\frac{1}{2}} \Rightarrow
$$

$$
\ln y(x) = \frac{1}{2} \ln \Bigg[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \Bigg] \Rightarrow
$$

$$
\ln y(x) = \frac{1}{2} \big[ \ln(x-1)(x-2) – \ln(x-3)(x-4) \big] \Rightarrow
$$

$$
\ln y(x) = \frac{1}{2} \big[ \ln(x-1) + \ln(x-2) – \ln(x-3) – \ln(x-4) \big] \Rightarrow
$$

Next

在等式两边同时对 $x$ 求导 $\Rightarrow$

$$
\frac{y^{\prime}}{y} = \frac{1}{2} \big( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x-4} \big) \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} = \frac{1}{2} y \Big( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x-4} \Big) \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} \cdot \Big( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x-4} \Big).
$$

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