矩阵的秩与相关推论

一、定义

有关矩阵 秩 的标准 定 义 如下：

设 $\mathit{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵，如果 $\mathit{A}$ 中 存 在 $r$ 阶子式 不 为 $0$, 而 所 有 的 $r$ $+$ $1$ 阶子式 全 为 $0$, 即 $\mathit{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\mathit{A}$ 的秩为 $r$, 记作 $r(\mathit{A})$. 同时，规定零矩阵的秩为 $0$.

二、推论

由矩阵的秩的定义可得如下 结 论 ：

• $\mathrm{r}(\mathit{A})$ $=$ $r$ $\iff$ $\mathit{A}$ 中存在 $r$ 阶子式不为 $0$, 而所有的 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为 $0$.
• $r(\mathit{A})$ $<$ $r$ $\iff$ $\mathit{A}$ 中 $r$ 阶子式全为 $0$.
• $\mathrm{r}(\mathit{A})$ $⩾$ $\mathit{r}$ $\iff$ $\mathit{A}$ 中存在 $r$ 阶子式不为 $0$.
• $\mathrm{r}(\mathit{A})$ $=$ $0$ $\iff$ $\mathit{A}$ $=$ $\mathit{O}$.
• $\mathrm{r}(\mathit{A})$ $⩾$ $1$ $\iff$ $\mathit{A}$ $\ne$ $\mathit{O}$.

其中，$\mathit{O}$ 表示零矩阵。

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