计算微分方程 y y + 2 (y)2 = 0 满足给定初始条件的特解

一、题目题目 - 荒原之梦

微分方程 y y + 2 (y)2 = 0 满足初始条件 y(0) = 1, y(0) = 1 的特解是?

二、解析 解析 - 荒原之梦

下文中出现的 Cn, 其中 n = 1, 2, 3, 都特指任意常数。

观察可知,微分方程 y y + 2 (y)2 = 0 不显含自变量 x ——根据惯例,这里默认 yx 的函数,即认为 y 就表示:y(x).

从而根据公式(点击这里查看有关可降阶的微分方程的更多信息 打开链接 - 荒原之梦)可知,y y + 2 (y)2 = 0 是一个可降阶的微分方程

于是,将 y 视作函数 p(y) 的自变量,

p(y)=p=y

y=p=dydx

p 替换 y 其实就是在“降阶”:由 1 阶导降为 0 阶导。

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y=dpdydydx

y=pdpdy

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将上面的 两个式子带入题中原式,

yy+2(y)2=0

ypdpdy+2pp=0

p[ydpdy+2p]=0

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式,可知

p=0

或者

ydpdy+2p=0

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又由于,当 x = 0 时,p = y(0) = 1 0, 因此,应该将 p = 0 这一结论舍去,于是有

ydpdy+2p=0

ydydp=2p

ydy=2pdp

dyy=dp2p

上式是一个可分离变量的微分方程。

1ydy=121pdp

ln|y|=12ln|p|+C1

ln|y|+12ln|p|=ln|C2|

2ln|y|+ln|p|=ln|C3|

lny2+ln|p|=ln|C3|

ln|p|=ln|C3|lny2

ln|p|=ln|C3|y2

ln|p|=ln|C3y2|

p=C3y2.

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又由于,当 x = 0 时,y = 1, p = y = 1, 于是

p=C3y2

1=C31

C3=1.

p=y=1y2

dydx=1y2

上式是一个可分离变量的微分方程。

y2dy=dx

y2dy+dx=0

y2dy+dx=0

13y3+x=C.

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又,当 x = 0 的时候,y = 1, 于是

13=C

C=13.

13y3+x=13

13y3=13x

y3=13x

y=13x.

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微分方程 y y + 2 (y)2 = 0 满足初始条件 y(0) = 1, y(0) = 1特解是

y=13x.


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