用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$

一、问题描述

已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下：

$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$

但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$

二、解决方案

为了解决前面提到的问题，我们可以参考如下解决方案。

我们知道：

$$
(x^{2})^{\prime} = \textcolor{cyan}{2x}
$$

换个表述方式就是：

$$
(x^{2})^{\prime} =
$$

$$
(\textcolor{tan}{x} \cdot \textcolor{yellow}{x})^{\prime} =
$$

$$
(\textcolor{tan}{x})^{\prime} \cdot \textcolor{yellow}{x} \textcolor{orange}{+} \textcolor{tan}{x} \cdot (\textcolor{yellow}{x})^{\prime} =
$$

$$
\textcolor{tan}{1} \cdot \textcolor{yellow}{x} \textcolor{orange}{+} \textcolor{tan}{x} \cdot \textcolor{yellow}{1} =
$$

$$
\textcolor{yellow}{x} \textcolor{orange}{+} \textcolor{tan}{x} = \textcolor{cyan}{2x}
$$

上述过程就辅助验证了 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 而不是 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$——否则，$(x^{2})^{\prime}$就会是 $x$ $-$ $x$ $=$ $0$, 而不是等于 $2 x$ 了。

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