空间曲线的法平面方程：基于一般式方程（B013）

问题

若已知空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 的一般式方程为 $\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}$, 则在曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 上的点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处，曲面 $F(x,y,z)$ $=$ $0$ 和 $G(x,y,z)$ $=$ $0$ 的两个法向量 $n_1$ 和 $n_2$ 分别为：

${\mathit{n}}_1$ $=$ $(F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0),F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0),F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0))$
${\mathit{n}}_1$ $=$ $(G_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0),G_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0),G_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0))$

该点处的切向量为：
$\mathit{\tau }$ $=$ ${\mathit{n}}_1\times {\mathit{n}}_2$

若记切向量 $\mathit{\tau }$ $=$ $(A,B,C)$,
则曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法平面方程是多少？

选项

[A].   $\frac{x-x_0}{A}$ $=$ $\frac{y-y_0}{B}$ $=$ $\frac{z-z_0}{C}$

[B].   $A$ $(x-x_0)$ $-$ $B$ $(y-y_0)$ $-$ $C$ $(z-z_0)$ $=$ $0$

[C].   $A$ $(x+x_0)$ $+$ $B$ $(y+y_0)$ $+$ $C$ $(z+z_0)$ $=$ $0$

[D].   $A$ $(x-x_0)$ $+$ $B$ $(y-y_0)$ $+$ $C$ $(z-z_0)$ $=$ $0$

   答 案   

$A$ $(x-x_0)$ $+$ $B$ $(y-y_0)$ $+$ $C$ $(z-z_0)$ $=$ $0$