什么是凹函数和凸函数？（图文举例详细说明）

本文通过清晰的图示和明了的文字说明来解释什么是凹函数和凸函数，以及如何判断一个函数或者一个区间内的函数是一个凸函数还是凹函数。

对于凹函数和凸函数的判断，根据不同的严谨程度和角度有以下几种判断方法和注意事项：

一、在函数图像中，向下凹的函数为凹函数，向上凸的函数为凸函数

例如，图 01 中的红色曲线（对应的函数为：$y$ $=$ $(x-2{)}^2$）就是一个典型的凹函数，而图中的蓝色曲线（对应的函数为：$y$ $=$ $-(x+2{)}^2$）则是一个典型的凸函数

至于如何判断函数图像是向下凹还是向上凸，可以使用“画线法”进行辅助的判断。如图 02 所示，红色曲线代表函数 $y$ $=$ $x^3$ 在区间 $[-1,1]$ 上的函数图像。由于，在 $[0,1]$ 区间上，$y$ $=$ $x^3$ 的图像始终在蓝色直线的下方，因此，函数 $y$ $=$ $x^3$ 在区间 $[0,1]$ 上是一个凹函数，而在区间 $[-1,0]$ 上，$y$ $=$ $x^3$ 的函数图像始终在蓝色曲线的上方，因此，函数 $y$ $=$ $x^3$ 在区间 $[-1.0]$ 上是一个凸函数：

二、函数的凹凸性与增减性无必然关系

上面图 01 的函数图像中，凹函数有一个明显的先下降再上升的过程，凸函数有一个明显的先上升后下降的过程。但是，并不是只有存在这种升降变化的函数才是凹函数或凸函数，例如，在图 03 中，红色曲线（对应的函数为：$y$ $=$ $-e^x$）是单调下降的，蓝色曲线（对应的函数为：$y$ $=$ $\ln x$）是单调上升的，但图中这两条曲线都是凸函数：

而在图 04 中，红色曲线（对应的函数为：$y$ $=$ $e^x$）是单调上升的，蓝色曲线（对应的函数为：$y$ $=$ $-\ln x$ $+$ $2$）是单调下降的，但图中这两条曲线都是凹函数：

三、根据一阶导函数值的正负判断函数凹凸性

如果一个函数的一阶导函数在定义域内的函数值先小于零后大于零，则这个导函数的原函数一定是凹函数（但凹函数的导函数值并不一定会先小于零后大于零）。

例如，在 图 05 中，原函数 $y$ $=$ $x^2$（红色曲线）的导函数 $y$ $=$ $2x$（蓝色曲线）的值先小于零后大于零，因此，原函数 $y$ $=$ $x^2$ 是一个凹函数：

同理，如果一个函数的一阶导函数在定义域内的函数值先大于零后小于零，则这个导函数的原函数一定是凸函数（但凸函数的导函数值并不一定会先大于零后小于零）。

例如，在图 06 中，原函数 $y$ $=$ $-x^2$（红色曲线）的导函数 $y$ $=$ $-2x$（蓝色曲线）的值先大于零后小于零，因此，原函数 $y$ $=$ $-x^2$ 是一个凸函数：

四、根据二阶导函数值的正负判断函数凹凸性

当原函数的二阶导函数值小于零的时候，表明该原函数是凸函数，而当原函数的二阶导函数值大于零的时候，表明该原函数是凹函数。

例如，在图 07 中，红色曲线表示原函数 $y$ $=$ $x^3$, 蓝色曲线则表示该原函数的二阶导函数 $y$ $=$ $6x$. 从图中可以看到，当二阶导函数 $y$ $=$ $6x$ 的值小于零的时候，原函数 $y$ $=$ $x^3$ 表现为凸函数，而当二阶导函数 $y$ $=$ $6x$ 的值大于零的时候，原函数 $y$ $=$ $x^3$ 表现为凹函数：

---